Montrons par récurrence que $A_n=U$ est une matrice bande.

$A_1=A, \quad A_{k+1}=L_kA_k= L_kL_{k-1} \cdots L_1A, \quad k=1,\cdots , n-1.$

Supposons que $A_k$ est une matrice bande i.e., $a_{ij}^k=0$ pour $|i-j|\geq p$ et montrons que $A_{k+1}$ est une matrice bande. $a_{ij}^{k+1}=a_{ij}^k-\frac{a_{ik}^k a_{kj}^k}{a_{kk}^k}$ Soit $|i-j|\geq p\Leftrightarrow |(i-k)-(j-k)|\geq p$ . On considère deux cas:

$k+1\leq i\leq n$ et $k\leq j\leq n$ . Alors $i-k\geq p$ ou $j-k\geq p$ $\Rightarrow a_{ik}^ka_{kj}^k=0\Rightarrow a_{ij}^{k+1}=a_{ij}^k=0$
$i\leq k$ ou $j\leq k-1$ alors $a_{ij}^{k+1}=a_{ij}^k=0$

donc $A_{k+1}$ est une matrice bande et $U$ est une matrice bande. On a $A=LU$ et la matrice triangulaire inférieure $L$ a pour éléments $l_{ij}=a_{ij}^j/a_{jj}^j,\quad j\leq i\leq n$ . Toutes les matrices $A_j$ étant des matrices bandes on a $a_{ij}^j=0$ pour $i-j\geq p\Rightarrow l_{ij}=0$ pour $i-j\geq p$ .

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