Montrons par récurrence que \(A_n=U\) est une matrice bande.

\(A_1=A, \quad A_{k+1}=L_kA_k= L_kL_{k-1} \cdots L_1A, \quad k=1,\cdots , n-1.\)

Supposons que \(A_k\) est une matrice bande i.e., \(a_{ij}^k=0\) pour \(|i-j|\geq p\) et montrons que \(A_{k+1}\) est une matrice bande. \[a_{ij}^{k+1}=a_{ij}^k-\frac{a_{ik}^k a_{kj}^k}{a_{kk}^k}\] Soit \(|i-j|\geq p\Leftrightarrow |(i-k)-(j-k)|\geq p\). On considère deux cas:

\(k+1\leq i\leq n\) et \(k\leq j\leq n\). Alors \(i-k\geq p\) ou \(j-k\geq p\) \(\Rightarrow a_{ik}^ka_{kj}^k=0\Rightarrow a_{ij}^{k+1}=a_{ij}^k=0\)
\(i\leq k\) ou \(j\leq k-1\) alors \(a_{ij}^{k+1}=a_{ij}^k=0\)

donc \(A_{k+1}\) est une matrice bande et \(U\) est une matrice bande. On a \(A=LU\) et la matrice triangulaire inférieure \(L\) a pour éléments \(l_{ij}=a_{ij}^j/a_{jj}^j,\quad j\leq i\leq n\). Toutes les matrices \(A_j\) étant des matrices bandes on a \(a_{ij}^j=0\) pour \(i-j\geq p\Rightarrow l_{ij}=0\) pour \(i-j\geq p\).

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