On considère le système \(Ax=b\) avec \[\begin{equation}\label{sys} A=\left(\begin{array}{ccccc} 3&1&0&0&0\\ 1&2&1&0&0\\ 0&2&3&1&0\\ 0&0&1&4&3\\ 0&0&0&1&1 \end{array}\right) \end{equation}\]
Décomposer \(A\) sous la forme \(LU\) et en déduire que ([sys]) admet une solution unique \(x^*\).
Ecrire l’itération de Gauss–Seidel pour ce système, c’est–à–dire, le système linéaire donnant \(X_{n+1}=(x_{n+1}, y_{n+1}, z_{n+1}, t_{n+1}, u_{n+1})\) en fonction de \(X_{n}=(x_{n}, y_{n}, z_{n}, t_{n}, u_{n})\).
Pour tout \(n\in\Nn\) on pose \(e_n=X_n-x^*\). Montrer qu’il existe \(a\in [0,1[\) tel que:
\[\forall n\in\Nn \ \ \ \|e_{n+1}\|_\infty \leq a \|e_n\|_\infty .\] En déduire la convergence de la suite.
Déterminer la matrice de Gauss–Seidel \({\cal L}_1\) associée à \(A\). Calculer \(\|{\cal L}_1\|_\infty\). En déduire la convergence de \((X_n)\) vers \(x^*\).
Soit \(A\in\Rr^{n\times n}\) vérifiant la propriété suivante: \[\begin{array}{ccl} |a_{ij}| & \geq & \sum_{j\neq i}|a_{ij}| \ \ i=2, \cdots , n\\ |a_{11}|& > & \sum_{j\neq 1}|a_{1j}| \end{array}\] et sur chaque ligne de \(A\) il existe il existe un terme non nul \(a_{ij}\) pour \(i\geq 2\) et \(j<i\).
Montrer qu’alors la méthode de Gauss–Seidel converge.