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Décomposer $A$ sous la forme $LU$ et en déduire que ([sys]) admet une solution unique $x^*$.

Ecrire l’itération de Gauss–Seidel pour ce système, c’est–à–dire, le système linéaire donnant $X_{n+1}=(x_{n+1}, y_{n+1}, z_{n+1}, t_{n+1}, u_{n+1})$ en fonction de $X_{n}=(x_{n}, y_{n}, z_{n}, t_{n}, u_{n})$.

Pour tout $n\in\Nn$ on pose $e_n=X_n-x^*$. Montrer qu’il existe $a\in [0,1[$ tel que:

$$\forall n\in\Nn \ \ \ \|e_{n+1}\|_\infty \leq a \|e_n\|_\infty .$$ En déduire la convergence de la suite.

Déterminer la matrice de Gauss–Seidel ${\cal L}_1$ associée à $A$. Calculer $\|{\cal L}_1\|_\infty$. En déduire la convergence de $(X_n)$ vers $x^*$.

Soit $A\in\Rr^{n\times n}$ vérifiant la propriété suivante: $$\begin{array}{ccl} |a_{ij}| & \geq & \sum_{j\neq i}|a_{ij}| \ \ i=2, \cdots , n\\ |a_{11}|& > & \sum_{j\neq 1}|a_{1j}| \end{array}$$ et sur chaque ligne de $A$ il existe il existe un terme non nul $a_{ij}$ pour $i\geq 2$ et $j<i$.

Montrer qu’alors la méthode de Gauss–Seidel converge.