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Soit $n \in \Nn$ et on définit les matrices suivantes dans $\Rr^{n\times n}$ :

$E_{ij}$ matrice avec un $1$ dans la position $(i,j)$ et $0$ partout ailleurs;
$V_{ij}(\lambda )=I + \lambda E_{ij}$ , $\lambda \in\Rr , i>j$ ;
$L(l_i) = I+l_ie_i^T$ , $l_i\in\Rr^n$ tel que ses premières $i$ composantes sont nulles.

Quels sont les résultats des opérations suivantes sur la matrice $A$ : $B=V_{ij}(\lambda )A , C=AV_{ij}(\lambda ) ?$

Quelle est la forme de la matrice $V_{ij}(\lambda )V_{kj}(\lambda ') , k>i ?$

Représenter $L(l_i)$ et montrer que $L(l_i)^{-1}=L(-l_i)$ .

Décomposer $L(l_i)$ comme produit de matrices de la forme $V_{km}(\lambda )$ .

Calculer $L=\prod_{i=1}^{n-1}L(l_i)$ et son inverse $L^{-1}$

On suppose les $l_i$ stockés dans un tableau bidimensionnel $Z$ et $b\in\Rr^n$ stocké dans un tableau unidimensionnel $B$ . Donner un algorithme permettant de calculer dans $B$ la solution de $Lx=b$ :

en utilisant l’expression de $L^{-1}$ ;

en résolvant le système triangulaire.

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