Soit \(n \in \Nn\) et on définit les matrices suivantes dans \(\Rr^{n\times n}\):
\(E_{ij}\) matrice avec un \(1\) dans la position \((i,j)\) et \(0\) partout ailleurs;
\(V_{ij}(\lambda )=I + \lambda E_{ij}\) , \(\lambda \in\Rr , i>j\);
\(L(l_i) = I+l_ie_i^T\), \(l_i\in\Rr^n\) tel que ses premières \(i\) composantes sont nulles.
Quels sont les résultats des opérations suivantes sur la matrice \(A\): \[B=V_{ij}(\lambda )A , C=AV_{ij}(\lambda ) ?\]
Quelle est la forme de la matrice \[V_{ij}(\lambda )V_{kj}(\lambda ') , k>i ?\]
Représenter \(L(l_i)\) et montrer que \(L(l_i)^{-1}=L(-l_i)\).
Décomposer \(L(l_i)\) comme produit de matrices de la forme \(V_{km}(\lambda )\).
Calculer \(L=\prod_{i=1}^{n-1}L(l_i)\) et son inverse \(L^{-1}\)
On suppose les \(l_i\) stockés dans un tableau bidimensionnel \(Z\) et \(b\in\Rr^n\) stocké dans un tableau unidimensionnel \(B\). Donner un algorithme permettant de calculer dans \(B\) la solution de \(Lx=b\):
en utilisant l’expression de \(L^{-1}\);
en résolvant le système triangulaire.