Soit \(A\in\Rr^{m\times n}\) de rang \(r\leq p=\min (m,n)\). On considère la décomposition en valeurs singulières de \(A\) \[U^TAV = \mbox{diag} (\sigma_1, \cdots , \sigma_p )\] où les \(\sigma_i\) sont les valeurs singulières de \(A\)
Montrer que Im\((A)=\) span\(\{u^1, u^2, \cdots , u^r\}\) et Ker\((A)=\) span\(\{v^{r+1}, \cdots , v^n\}\).
Montrer que Im\((^TA)=\) span\(\{v^1, u^2, \cdots , v^r\}\) et Ker\((A^T)=\) span\(\{u^{r+1}, \cdots , u^m\}\).
Déterminer les matrices des projections orthogonales sur Im\((A)\), Ker\((A)\), Im\((A^T)\), Ker\((A^T)\) à l’aide de \(U\) et \(V\).
Application: calculer la décomposition en valeurs singulières de la matrice \[A=\left(\begin{array}{cc}1&1\\ 2&1\\ -1&1\end{array}\right)\] et les matrices correspondantes aux projections orthogonales de l’exercice précédent.