L3 Analyse numérique Autre Prépa MPSI · MP2I Prépa PCSI Prépa PTSI Prépa BCPST Prépa MP · MPI Prépa PC Prépa PSI Prépa PT Prépa BCPST 4 questions

exo7 2216

Soit $A\in\Rr^{m\times n}$ de rang $r\leq p=\min (m,n)$ . On considère la décomposition en valeurs singulières de $A$ $U^TAV = \mbox{diag} (\sigma_1, \cdots , \sigma_p )$ où les $\sigma_i$ sont les valeurs singulières de $A$

Montrer que Im $(A)=$ span $\{u^1, u^2, \cdots , u^r\}$ et Ker $(A)=$ span $\{v^{r+1}, \cdots , v^n\}$ .

Montrer que Im $(^TA)=$ span $\{v^1, u^2, \cdots , v^r\}$ et Ker $(A^T)=$ span $\{u^{r+1}, \cdots , u^m\}$ .

Déterminer les matrices des projections orthogonales sur Im $(A)$ , Ker $(A)$ , Im $(A^T)$ , Ker $(A^T)$ à l’aide de $U$ et $V$ .

Application: calculer la décomposition en valeurs singulières de la matrice $A=\left(\begin{array}{cc}1&1\\ 2&1\\ -1&1\end{array}\right)$ et les matrices correspondantes aux projections orthogonales de l’exercice précédent.