Démontrer l’identité \[(A + UBV)^{-1} = A^{-1} -A^{-1} U( I+BVA^{-1}U)^{-1} BVA^{-1}\] en précisant:
son domaine de validité;
les types des matrices \(A, U, B, V\).
Quelques cas particuliers:
Supposons \(B=\beta\) scalaire, \(U=u\in\Rr^n\), \(V=v^T \in\Rr^n\). Retrouver la formule de Shermann–Morrison qui permet le calcul de l’inverse d’une matrice qui apparait comme perturbation de rang 1 d’une matrice dont on connait l’inverse.
Soient \(A\in\Rr^{n\times n}\) régulière et \(u,v\in\Rr^n\) tels que \(1+v^TA^{-1}u=0\). Montrer que \[B=\left(\begin{array}{cc} A+uv^T&u\\ v^T& 0\end{array}\right) \mbox{ est régulière.}\] Calculer \(B^{-1}\) en remarquant que \[B=\left[\begin{array}{cc} A&0\\ 0&-1\end{array}\right] +\left[\begin{array}{c} u\\ 1\end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} v^T&1 \end{array}\right]\]
Soit \[D=\left[\begin{array}{cc} P&Q\\ R&S\end{array}\right] \mbox{ matrice inversible avec } P\in\Rr^{p\times p}, Q\in\Rr^{p\times q}, S\in\Rr^{q\times q}\] Calculer \(D^{-1}\) en remarquant que \[D=\left[\begin{array}{cc} P&0\\ R&I\end{array}\right] +\left[\begin{array}{c} Q\\S-I\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} 0&I\end{array}\right]\]
Calcul récursif de l’inverse: on pose \[A_n=\left[\begin{array}{cc}A_{n-1}&v\\ u^T&s\end{array}\right] \mbox{ avec } A_{n-1}\in\Rr^{(n-1)\times (n-1)} u,v\in\Rr^{n-1}, s\in\Rr\] Utiliser la formule précédente pour calculer \(A_n^{-1}\) en fonction de \(A_{n-1}^{-1}\). En déduire un algorithme récursif pour le calcul de l’inverse d’une matrice carrée de taille \(n\).