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Supposons $B=\beta$ scalaire, $U=u\in\Rr^n$, $V=v^T \in\Rr^n$. Retrouver la formule de Shermann–Morrison qui permet le calcul de l’inverse d’une matrice qui apparait comme perturbation de rang 1 d’une matrice dont on connait l’inverse.

Soient $A\in\Rr^{n\times n}$ régulière et $u,v\in\Rr^n$ tels que $1+v^TA^{-1}u=0$. Montrer que $$B=\left(\begin{array}{cc} A+uv^T&u\\ v^T& 0\end{array}\right) \mbox{ est régulière.}$$ Calculer $B^{-1}$ en remarquant que $$B=\left[\begin{array}{cc} A&0\\ 0&-1\end{array}\right] +\left[\begin{array}{c} u\\ 1\end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} v^T&1 \end{array}\right]$$

Soit $$D=\left[\begin{array}{cc} P&Q\\ R&S\end{array}\right] \mbox{ matrice inversible avec } P\in\Rr^{p\times p}, Q\in\Rr^{p\times q}, S\in\Rr^{q\times q}$$ Calculer $D^{-1}$ en remarquant que $$D=\left[\begin{array}{cc} P&0\\ R&I\end{array}\right] +\left[\begin{array}{c} Q\\S-I\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} 0&I\end{array}\right]$$

Calcul récursif de l’inverse: on pose $$A_n=\left[\begin{array}{cc}A_{n-1}&v\\ u^T&s\end{array}\right] \mbox{ avec } A_{n-1}\in\Rr^{(n-1)\times (n-1)} u,v\in\Rr^{n-1}, s\in\Rr$$ Utiliser la formule précédente pour calculer $A_n^{-1}$ en fonction de $A_{n-1}^{-1}$. En déduire un algorithme récursif pour le calcul de l’inverse d’une matrice carrée de taille $n$.