L3 Analyse numérique Autre Prépa MP · MPIPrépa PCPrépa PSIPrépa PTPrépa BCPST 7 questions

exo7 2217

Définition: Soit Σ\Sigma une matrice diagonale de type (m×n)(m\times n): Σ=(μ1⋱μr0⋱0◯)\Sigma =\left( \begin{array}{cccccc} \mu_1&&&&&\\ &\ddots&&&&\\ &&\mu_r&&&\\ &&&0&&\\ &&&&\ddots &\\ &&&&&0\\ &&\bigcirc&&& \end{array}\right) On appelle pseudo–inverse de Σ\Sigma la matrice Σ†\Sigma^\dagger de type (n×m)(n\times m) définie par Σ†=(μ1−10⋱◯0μr−1)\Sigma^\dagger=\left(\begin{array}{cccc} \mu_1^{-1}&&0&\\ &\ddots &&\bigcirc\\ 0&&\mu_r^{-1}& \end{array}\right) Soit AA une matrice de type (m×n)(m\times n) dont la décomposition en valeurs singulières est A=UΣV∗A=U\Sigma V^*.

On appelle pseudo-inverse de la matrice AA la matrice A†A^\dagger de type (n×m)(n\times m) définie par A†=VΣ†U∗.A^\dagger = V\Sigma^\dagger U^* .

1

Quelle application représente la restriction de Σ†Σ\Sigma^\dagger \Sigma au sous-espace span{e1,⋯ ,er}\{e_1, \cdots , e_r\} ?

2

Montrer que si AA est carrée régulière alors A†=A−1A^\dagger =A^{-1}.

3

Montrer que A†=∑i=1r1μiviui∗.A^\dagger =\sum_{i=1}^r \frac{1}{\mu_i}v_iu_i^*.

4

Montrer que

5

AA†AA^\dagger est la matrice de la projection orthogonale sur Im(A)(A);

6

A†AA^\dagger A est la matrice de la projection orthogonale sur Im(A∗)(A^*)

7

Montrer que la restriction à Im(A∗)=(A^*)=Ker(A)⊥(A)^\bot de A∗AA^*A est une matrice inversible et (A∗A)−1=∑i=1rμi−2vivi∗.(A^*A)^{-1} = \sum_{i=1}^r \mu_i^{-2} v_iv_i^* .

Exercice gZ5r

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