Définition: Soit \(\Sigma\) une matrice diagonale de type \((m\times n)\): \[\Sigma =\left( \begin{array}{cccccc} \mu_1&&&&&\\ &\ddots&&&&\\ &&\mu_r&&&\\ &&&0&&\\ &&&&\ddots &\\ &&&&&0\\ &&\bigcirc&&& \end{array}\right)\] On appelle pseudo–inverse de \(\Sigma\) la matrice \(\Sigma^\dagger\) de type \((n\times m)\) définie par \[\Sigma^\dagger=\left(\begin{array}{cccc} \mu_1^{-1}&&0&\\ &\ddots &&\bigcirc\\ 0&&\mu_r^{-1}& \end{array}\right)\] Soit \(A\) une matrice de type \((m\times n)\) dont la décomposition en valeurs singulières est \(A=U\Sigma V^*\).
On appelle pseudo-inverse de la matrice \(A\) la matrice \(A^\dagger\) de type \((n\times m)\) définie par \[A^\dagger = V\Sigma^\dagger U^* .\]
Quelle application représente la restriction de \(\Sigma^\dagger \Sigma\) au sous-espace span\(\{e_1, \cdots , e_r\}\) ?
Montrer que si \(A\) est carrée régulière alors \(A^\dagger =A^{-1}\).
Montrer que \[A^\dagger =\sum_{i=1}^r \frac{1}{\mu_i}v_iu_i^*.\]
\(AA^\dagger\) est la matrice de la projection orthogonale sur Im\((A)\);
$A^\dagger A $ est la matrice de la projection orthogonale sur Im$(A^*)$
Montrer que la restriction à Im\((A^*)=\)Ker\((A)^\bot\) de \(A^*A\) est une matrice inversible et \[(A^*A)^{-1} = \sum_{i=1}^r \mu_i^{-2} v_iv_i^* .\]