1
Soit \(A=LU\) la décomposition LU d’une matrice \(A\in\Rr^{n\times n}\) avec \(|l_{ij}|\leq 1\). Soient \(a_i^T\) et \(u_i^T\) les lignes i de \(A\) et \(U\) respectivement. Montrer que \[u_i^T=a_i^T-\sum_{j=1}^{i-1} l_{ij}u_j^T\] et que \[\|U\|_\infty \leq 2^{n-1}\|A\|_\infty\]
2
Soit \(A\in\Rr^{n\times n}\) définie par \[a_{ij}=\left\{\begin{array}{ll} 1& \mbox{ si } i=j \mbox{ ou } j=n\\ -1 & \mbox{ si } i>j\\ 0 & \mbox{ sinon } \end{array}\right.\] Montrer que \(A\) a une décomposition LU avec \(|l_{ij}|\leq 1\) et \(u_{nn}=2^{n-1}\).