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Soit $A=LU$ la décomposition LU d’une matrice $A\in\Rr^{n\times n}$ avec $|l_{ij}|\leq 1$. Soient $a_i^T$ et $u_i^T$ les lignes i de $A$ et $U$ respectivement. Montrer que $$u_i^T=a_i^T-\sum_{j=1}^{i-1} l_{ij}u_j^T$$ et que $$\|U\|_\infty \leq 2^{n-1}\|A\|_\infty$$

Soit $A\in\Rr^{n\times n}$ définie par $$a_{ij}=\left\{\begin{array}{ll} 1& \mbox{ si } i=j \mbox{ ou } j=n\\ -1 & \mbox{ si } i>j\\ 0 & \mbox{ sinon } \end{array}\right.$$ Montrer que $A$ a une décomposition LU avec $|l_{ij}|\leq 1$ et $u_{nn}=2^{n-1}$.