L3 Analyse numérique Autre Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa BCPSTPrépa MP · MPIPrépa PCPrépa PSIPrépa PTPrépa BCPST 6 questions

exo7 2215

Soient

  • H=H=span{v1,⋯ ,vr}\{v_1, \cdots , v_r\} le sous–espace vectoriel de Rn\Rr^n engendré par les vecteurs {vi}\{v_i\} supposés indépendants;

  • V=[v1v2⋯vr]V=\left[ \begin{array}{cccc} v_1&v_2 & \cdots & v_r\end{array}\right] la matrice de type n×rn\times r dont les colonnes sont les composantes des viv_i dans la base canonique ϵ=(e1,⋯ ,en)\epsilon = (e_1, \cdots , e_n)

Pour tout x∈Rnx\in \Rr^n on désigne par yy sa projection orthogonale sur HH et par XX et YY les matrices colonnnes des composantes de xx et yy dans la base ϵ\epsilon. On pose y=∑i=1rαivi.y=\sum_{i=1}^r \alpha_i v_i .

1

Montrer que la matrice G=G(v1,⋯ ,vr)=VTVG=G(v_1, \cdots ,v_r)=V^TV est inversible.

2

Montrer que les αi\alpha_i vérifient le système G(α1⋮αr)=VTXG\left( \begin{array}{c}\alpha_1 \\ \vdots \\ \alpha_r\end{array} \right) = V^TX

3

En déduire que Y=VG−1VTX=PXY=VG^{-1}V^TX= PX avec P=VG−1VTP=VG^{-1}V^T (PP est donc la matrice de la projection orthogonale de Rn\Rr^n sur HH

4

Application: on considère n=3,v1=e1,v2=e1+e2+e3n=3, v_1=e_1, v_2=e_1+e_2+e_3. Déterminer la projection orthogonale sur H=H= span {v1,v2}\{v_1, v_2\} de x=2e1−e2+e3x=2e_1-e_2+e_3.

5

Quelle est la matrice de la projection orthogonale sur H=H=span {v}\{v\}?

6

Montrer que, pour x∈Rnx\in\Rr^n d2(x,H)=detG(x,v1,⋯ ,vr)detG(v1,⋯ ,vr)d^2(x,H)= \frac{\mbox{det} G(x,v_1,\cdots ,v_r)}{\mbox{det} G(v_1, \cdots , v_r)}

Exercice g6Uz

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