Soient
\(H=\)span\(\{v_1, \cdots , v_r\}\) le sous–espace vectoriel de \(\Rr^n\) engendré par les vecteurs \(\{v_i\}\) supposés indépendants;
\(V=\left[ \begin{array}{cccc} v_1&v_2 & \cdots & v_r\end{array}\right]\) la matrice de type \(n\times r\) dont les colonnes sont les composantes des \(v_i\) dans la base canonique \(\epsilon = (e_1, \cdots , e_n)\)
Pour tout \(x\in \Rr^n\) on désigne par \(y\) sa projection orthogonale sur \(H\) et par \(X\) et \(Y\) les matrices colonnnes des composantes de \(x\) et \(y\) dans la base \(\epsilon\). On pose \[y=\sum_{i=1}^r \alpha_i v_i .\]
Montrer que la matrice \(G=G(v_1, \cdots ,v_r)=V^TV\) est inversible.
Montrer que les \(\alpha_i\) vérifient le système \[G\left( \begin{array}{c}\alpha_1 \\ \vdots \\ \alpha_r\end{array} \right) = V^TX\]
En déduire que \(Y=VG^{-1}V^TX= PX\) avec \(P=VG^{-1}V^T\) (\(P\) est donc la matrice de la projection orthogonale de \(\Rr^n\) sur \(H\)
Application: on considère \(n=3, v_1=e_1, v_2=e_1+e_2+e_3\). Déterminer la projection orthogonale sur \(H=\) span \(\{v_1, v_2\}\) de \(x=2e_1-e_2+e_3\).
Quelle est la matrice de la projection orthogonale sur \(H=\)span \(\{v\}\)?
Montrer que, pour \(x\in\Rr^n\) \[d^2(x,H)= \frac{\mbox{det} G(x,v_1,\cdots ,v_r)}{\mbox{det} G(v_1, \cdots , v_r)}\]