$A=A_1=\left(\begin{array}{cc} \alpha & u^T\\v&B_1\end{array}\right),\quad B_1=(b_{ij})_{i,j=1}^{n-1}$ $A^T$ étant à diagonale strictement dominante on a: $|\alpha|>\sum_{i=1}^{n-1}|v_i|,\quad |u_i| +\sum_{j\neq i}|b_{ji}|<|b_{ii}|$ Il suffit de montrer que

la première colonne de $L$ vérifie $|l_{11}|>\sum_{i\neq 1}|l_{i1}|$
$B_2$ est telle que $A_2=\left(\begin{array}{cc}\alpha & u^T\\0& B_2\end{array}\right), \quad C=B_2=B_1-\frac{1}{\alpha} vu^T$ vérifie $|c_{ii}|>\sum_{j\neq i}|c_{ji}|$ avec $C_{ij}=B_{ij}-\frac{1}{\alpha}v_iu_j$ et itérer.

première colonne de $L$ : $l_{i1}=v_i/\alpha \Rightarrow \sum_{i=2}^n |l_{i1}|=\sum_{i=1}^{n-1}\frac{|v_i|}{\alpha}<1$
$\sum_{i\neq j}|c_{ij}| =\sum_{i\neq j}\left|b_{ij}-\frac{1}{\alpha}v_iw_j\right|\leq \sum_{i\neq j}|b_{ij}| +\frac{1}{|\alpha|}|w_j|\sum_{i\neq j}|v_i|$ $\leq |b_{jj}| - |u_j| + \frac{1}{|\alpha|}|u_j| (|\alpha|-|v_j|) \leq\left|b_{jj}-\frac{1}{\alpha} u_jv_j\right|=|c_{jj}|$ donc $B_2^T$ est de diagonale strictement dominante. La démonstration se finit par récurrence.

exo7 2228