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Montrer que pour une matrice quelconque $A=(a_{ij})$ de type $(2\times 2 )$ on a $$\mbox{cond}_2(A) =\sigma + (\sigma^2-1)^{1/2} \mbox{ avec } \sigma =\frac{\sum_{i,j=1}^2 |a_{ij}|^2}{2|\det (A)|}$$

Calculer les conditionnements cond$_p(.)$ pour $p=1,2,\infty$ des matrices exactes obtenues à la première étape de la procédure d’élimination de Gauss pour résoudre le système linéaire $$\left\{\begin{array}{l} 10^{-4} u_1 + u_2 =1\\ u_1 + u_2 =2 \end{array}\right.$$ selon que l’on commence, ou non, par échanger les deux équations. Conclusion?