Soit \(A=I-E-E^*\) une matrice carrée d’ordre \(N\) où \(E\) est une matrice strictement triangulaire inférieure (\(e_{ij}=0\) pour \(i\leq j\)). Pour résoudre le système \(Ax=b\), on propose la méthode itérative définie par \[\left\{ \begin{array}{ccc} (I-E)x_{2k+1}&=& E^* x_{2k} + b\\ (I-E^*)x_{2k+2}&=& E x_{2k+1} + b \end{array}\right.\]
1
Déterminer \(B\) et \(c\) pour que l’on ait: \[x_{2k+2} =Bx_{2k} +c .\] Vérifier que \(B=M^{-1}N\) et \(A=M-N\) avec \(M=(I-E)(I-E^*)\) , \(N=EE^*\).
2
Montrer que \(M^*+N\) est une matrice définie positive. En déduire une condition nécessaire et suffisante pour la convergence de la méthode.