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Soit $A=I-E-E^*$ une matrice carrée d’ordre $N$ où $E$ est une matrice strictement triangulaire inférieure ( $e_{ij}=0$ pour $i\leq j$ ). Pour résoudre le système $Ax=b$ , on propose la méthode itérative définie par $\left\{ \begin{array}{ccc} (I-E)x_{2k+1}&=& E^* x_{2k} + b\\ (I-E^*)x_{2k+2}&=& E x_{2k+1} + b \end{array}\right.$

Déterminer $B$ et $c$ pour que l’on ait: $x_{2k+2} =Bx_{2k} +c .$ Vérifier que $B=M^{-1}N$ et $A=M-N$ avec $M=(I-E)(I-E^*)$ , $N=EE^*$ .

Montrer que $M^*+N$ est une matrice définie positive. En déduire une condition nécessaire et suffisante pour la convergence de la méthode.

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