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Soit $x$ un vecteur quelconque et on pose $y=Bx$. Montrer l’identité: $$(x,Ax) - (y,Ay) = ((x-y), (M+M^*-A)(x-y)).$$

Supposons que $A$ est définie positive. Soit $x\neq 0$ un vecteur propre de $B$ associé à la valeur propre $\lambda$, $y=Bx=\lambda x$. Utiliser l’identité précédente pour montrer que $|\lambda|<1$. Que peut–on conclure sur la convergence de la méthode?

Supposons maintenant que $\rho (B)<1$. montrer que $A$ est définie positive.

Supposons $A$ décomposée par points ou par blocs sous la forme $$A=D-E-F \mbox{ avec } D \mbox{ définie positive} .$$ Montrer que la méthode de relaxation par points ou par blocs pour $0<w<2$ converge si et seulement si $A$ est définie positive.