Soit \(A\) une matrice hermitienne inversible décomposée en \(A=M-N\) où \(M\) est inversible. Soit \(B=I-M^{-1}A\) la matrice de l’itération: \[x_{n+1}= Bx_n +c .\] Supposons que \(M+M^* -A\) soit définie positive.
Soit \(x\) un vecteur quelconque et on pose \(y=Bx\). Montrer l’identité: \[(x,Ax) - (y,Ay) = ((x-y), (M+M^*-A)(x-y)).\]
Supposons que \(A\) est définie positive. Soit \(x\neq 0\) un vecteur propre de \(B\) associé à la valeur propre \(\lambda\), \(y=Bx=\lambda x\). Utiliser l’identité précédente pour montrer que \(|\lambda|<1\). Que peut–on conclure sur la convergence de la méthode?
Supposons maintenant que \(\rho (B)<1\). montrer que \(A\) est définie positive.
Supposons \(A\) décomposée par points ou par blocs sous la forme \[A=D-E-F \mbox{ avec } D \mbox{ définie positive} .\] Montrer que la méthode de relaxation par points ou par blocs pour \(0<w<2\) converge si et seulement si \(A\) est définie positive.