Soient \(A\) et \(B\) deux matrices réelles d’ordre \(N\) et \(a,b\) deux vecteurs de \(\Rr^n\). On considère les deux itérations suivantes: \[\begin{equation}\label{ite} \left\{ \begin{array}{ccc} x_{k+1}&=& By_k +a\\ y_{k+1}&=& Ax_k + b \end{array}\right. \ \ k=0, 1, \cdots \end{equation}\] avec \(x_0, y_0 \in\Rr^n\) donnés.
Déterminer une condition nécessaire et suffisante de convergence des deux suites de vecteurs.
Soit \(z_k= ( x_k, y_k)^T \in\Rr^{2n}\). Montrer que ([ite]) peut s’écrire \[z_{k+1}= Cz_k+c\] où \(C\) est une matrice d’ordre \(2n\). Expliciter \(C\) et \(c\).
Montrer que \(\rho^2(C)=\rho(AB)\).
On considère maintenant les deux itérations suivantes: \[\begin{equation}\label{ite2} \left\{ \begin{array}{ccc} x_{k+1}&=& By_k +a\\ y_{k+1}&=& Ax_{k+1} + b \end{array}\right. \ \ k=0, 1, \cdots \end{equation}\] Donner une condition nécessaire et suffisante de convergence.
Montrer que ([ite2]) est équivalent à \[z_{k+1}= Dz_k+d\] où \(D\) est une matrice d’ordre \(2N\).
Montrer que \(\rho (D)=\rho (AB)\).
Taux de convergence On appelle taux de convergence asymptotique de la matrice itérative \(M\) le nombre \[R(M) =-\ln (\rho (M))) .\] On pose \(e^k=x^k-x^*\) l’erreur de l’itéré d’ordre \(k\).
Montrer que le nombre d’itérations \(k\) pour réduire l’erreur d’un facteur \(\epsilon\) , i.e., \(\frac{\|e^k\|}{\|e^0\|}\leq \epsilon\) vérifie \[k\geq \frac{-\ln \epsilon}{R(M)} .\]