exo7 2238

Déterminer une condition nécessaire et suffisante de convergence des deux suites de vecteurs.

Soit $z_k= ( x_k, y_k)^T \in\Rr^{2n}$. Montrer que ([ite]) peut s’écrire $$z_{k+1}= Cz_k+c$$ où $C$ est une matrice d’ordre $2n$. Expliciter $C$ et $c$.

Montrer que $\rho^2(C)=\rho(AB)$.

On considère maintenant les deux itérations suivantes: $$\begin{equation}\label{ite2} \left\{ \begin{array}{ccc} x_{k+1}&=& By_k +a\\ y_{k+1}&=& Ax_{k+1} + b \end{array}\right. \ \ k=0, 1, \cdots \end{equation}$$ Donner une condition nécessaire et suffisante de convergence.

Montrer que ([ite2]) est équivalent à $$z_{k+1}= Dz_k+d$$ où $D$ est une matrice d’ordre $2N$.

Montrer que $\rho (D)=\rho (AB)$.

Taux de convergence On appelle taux de convergence asymptotique de la matrice itérative $M$ le nombre $$R(M) =-\ln (\rho (M))) .$$ On pose $e^k=x^k-x^*$ l’erreur de l’itéré d’ordre $k$.

Montrer que le nombre d’itérations $k$ pour réduire l’erreur d’un facteur $\epsilon$ , i.e., $\frac{\|e^k\|}{\|e^0\|}\leq \epsilon$ vérifie $$k\geq \frac{-\ln \epsilon}{R(M)} .$$

Comparer le taux de convergence des algorithmes ([ite]) et ([ite2]).