Soit \(A\in\Rr^{m\times n}\). On veut construire une matrice \(M\in \Rr^{m\times m}\) telle que
\(MA=S\) triangulaire supérieure;
\(MM^T=D=\)diag\((d_1,\cdots , d_m)\) , \(d_i>0\)
et appliquer cette factorisation de \(A\) dans la résolution de systèmes au sens des moindres carrés.
Donner la factorisation \(QR\) de \(A\) en termes de \(M, D\) et \(S\).
On considère maintenant \(m=2\). Soient \(x=(x_1, x_2)^T\) et \(D=\)diag\((d_1,d_2)\) (\(d_i>0\)) donnés.
On définit \[M_1=\left(\begin{array}{cc} \beta_1 & 1\\ 1&\alpha_1\end{array}\right).\] Supposons \(x_2\neq 0\). Calculer \(M_1x\) et \(M_1DM_1^T\).
Comment choisir \(\alpha_1\) et \(\beta_1\) de façon à ce que la deuxième composante de \(M_1x\) soit nulle et que \(M_1DM_1^T\) soit diagonale?
Pour le choix précédent déterminer \(\gamma_1\) tel que \[M_1x=\left(\begin{array}{c} x_2(1+\gamma_1)\\0\end{array}\right) \mbox{ et } M_1DM_1^T=\left(\begin{array}{cc} d_2(1+\gamma_1)&0\\0 & d_1(1+\gamma_1)\end{array}\right)\]
Supposons \(x_1\neq 0\). On définit \[M_2=\left(\begin{array}{cc} 1&\alpha_2\\ \beta_2 &1\end{array}\right).\] Choisir \(\alpha_2\) et \(\beta_2\) de façon à ce que \[M_2x=\left(\begin{array}{c} x_1(1+\gamma_2)\\0\end{array}\right) \mbox{ et } M_2DM_2^T=\left(\begin{array}{cc} d_1(1+\gamma_2)&0\\0 & d_2(1+\gamma_2)\end{array}\right)\] et déterminer \(\gamma_2\)
Montrer que l’on peut toujours choisir \(M_i\) (\(i=1,2\)) de façon à ce que le “facteur de croissance” \((1+\gamma_i)\) soit inférieur à 2.