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Donner la factorisation $QR$ de $A$ en termes de $M, D$ et $S$.

On considère maintenant $m=2$. Soient $x=(x_1, x_2)^T$ et $D=$diag$(d_1,d_2)$ ($d_i>0$) donnés.

On définit $$M_1=\left(\begin{array}{cc} \beta_1 & 1\\ 1&\alpha_1\end{array}\right).$$ Supposons $x_2\neq 0$. Calculer $M_1x$ et $M_1DM_1^T$.

Comment choisir $\alpha_1$ et $\beta_1$ de façon à ce que la deuxième composante de $M_1x$ soit nulle et que $M_1DM_1^T$ soit diagonale?

Pour le choix précédent déterminer $\gamma_1$ tel que $$M_1x=\left(\begin{array}{c} x_2(1+\gamma_1)\\0\end{array}\right) \mbox{ et } M_1DM_1^T=\left(\begin{array}{cc} d_2(1+\gamma_1)&0\\0 & d_1(1+\gamma_1)\end{array}\right)$$

Supposons $x_1\neq 0$. On définit $$M_2=\left(\begin{array}{cc} 1&\alpha_2\\ \beta_2 &1\end{array}\right).$$ Choisir $\alpha_2$ et $\beta_2$ de façon à ce que $$M_2x=\left(\begin{array}{c} x_1(1+\gamma_2)\\0\end{array}\right) \mbox{ et } M_2DM_2^T=\left(\begin{array}{cc} d_1(1+\gamma_2)&0\\0 & d_2(1+\gamma_2)\end{array}\right)$$ et déterminer $\gamma_2$

Montrer que l’on peut toujours choisir $M_i$ ($i=1,2$) de façon à ce que le “facteur de croissance” $(1+\gamma_i)$ soit inférieur à 2.