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Soit $A$ une matrice d’ordre $(m,n)$. Démontrer les inégalités suivantes pour les normes $p$, $p=1,2, \infty$ et la norme de Frobenius:

$\|A\|_2 \leq \|A|_F \leq \sqrt{n} \|A|_2$

$\max |a_{ij}| \leq \|A\|_2 \leq \sqrt{mn} \max |a_{ij}|$

$\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{n}}}\|A\|_\infty \leq \|A\|_2 \leq \sqrt{m} \|A\|_\infty$

$\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{m}}}\|A\|_1 \leq \|A\|_2 \leq \sqrt{n} \|A\|_1$