exo7 2222

Notant $(. , .)$ le produit scalaire euclidien et $v'\in\Rr^{n-k}$ le vecteur formé par les $(n-k)$ dernières composantes d’un vecteur $v=(v_i)_{i=k}^n \in \Rr^{n-k+1}$ quelconque, établir l’identité $$(\tilde{A}_k v,v)=(\tilde{A}_{k+1} v', v') + \frac{1}{a_{kk}^k} \left|a_{kk}^k v_k +\sum_{i=k+1}^n a_{ik}^k v_i\right|^2 .$$

Montrer que chaque matrice $\tilde{A_k}$ est symétrique définie positive.

Etablir les inégalités suivantes: $$0< a_{ii}^{k+1} \leq a_{ii}^k ,\ \ \ k+1\leq i \leq n$$ $$\max_{k+1\leq i \leq n} a_{ii}^{k+1} = \max_{k+1\leq i,j \leq n}\left|a_{ij}^{k+1}\right| \leq \max_{k \leq i,j \leq n}\left|a_{ij}^k\right| =\max_{k\leq i\leq n}a_{ii}^k$$