Notons \(\tilde{A}_k\) la matrice carrée d’ordre \((n-k+1)\) formée des éléments \(a_{ij}^k , k\leq i,j \leq n\) de la matrice \(A_k=(a_{ij}^k)\) obtenue come résultat de la \((k-1)\)–ème étape de l’élimination de Gauss. On suppose \(A=A_1\) symétrique définie positive.
Notant \((. , .)\) le produit scalaire euclidien et \(v'\in\Rr^{n-k}\) le vecteur formé par les \((n-k)\) dernières composantes d’un vecteur \(v=(v_i)_{i=k}^n \in \Rr^{n-k+1}\) quelconque, établir l’identité \[(\tilde{A}_k v,v)=(\tilde{A}_{k+1} v', v') + \frac{1}{a_{kk}^k} \left|a_{kk}^k v_k +\sum_{i=k+1}^n a_{ik}^k v_i\right|^2 .\]
Montrer que chaque matrice \(\tilde{A_k}\) est symétrique définie positive.
Etablir les inégalités suivantes: \[0< a_{ii}^{k+1} \leq a_{ii}^k ,\ \ \ k+1\leq i \leq n\] \[\max_{k+1\leq i \leq n} a_{ii}^{k+1} = \max_{k+1\leq i,j \leq n}\left|a_{ij}^{k+1}\right| \leq \max_{k \leq i,j \leq n}\left|a_{ij}^k\right| =\max_{k\leq i\leq n}a_{ii}^k\]