Soient \(p,q :\) \(1\leq p < q\leq n\), \(c,s\in\Rr :\) \(c^2+s^2=1\).
On considère les matrices
\[G=G_{p,q}(c,s)=\left(\begin{array}{ccccrccc}
1&&&&&&&\\
&\ddots &&&&&&\\
&&1&&&&&\\
&&&c&\cdots &-s&&\\
&&&&\ddots &&&\\
&&&s&\cdots& c&&\\
&&&&&&\ddots &\\
&&\cdots &&&&&1
\end{array}\right)\]
1
Ecrire \(G\) comme perturbée de \(I\) par des matrices de rang 1.
2
Montrer que \(G\) est inversible, calculer \(G^{-1}\), montrer que \(G\) est orthogonale.
3
Quelle est l’action de \(G\) sur \(A\in\Rr^{n\times n}\)?
4
Soit \(A\in\Rr^{n\times n}\) avec \(a_{pj}=\alpha , a_{qj}=\beta\). Peut–on trouver \(G\) telle que \(A'=GA\) vérifie: \[a'_{pj}=0 =\alpha ', \ \ \ a'_{qj}=0=\beta ' ?\] Est–ce que la solution est unique?