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Soient $p,q :$ $1\leq p < q\leq n$ , $c,s\in\Rr :$ $c^2+s^2=1$ .
On considère les matrices $G=G_{p,q}(c,s)=\left(\begin{array}{ccccrccc} 1&&&&&&&\\ &\ddots &&&&&&\\ &&1&&&&&\\ &&&c&\cdots &-s&&\\ &&&&\ddots &&&\\ &&&s&\cdots& c&&\\ &&&&&&\ddots &\\ &&\cdots &&&&&1 \end{array}\right)$

Ecrire $G$ comme perturbée de $I$ par des matrices de rang 1.

Montrer que $G$ est inversible, calculer $G^{-1}$ , montrer que $G$ est orthogonale.

Quelle est l’action de $G$ sur $A\in\Rr^{n\times n}$ ?

Soit $A\in\Rr^{n\times n}$ avec $a_{pj}=\alpha , a_{qj}=\beta$ . Peut–on trouver $G$ telle que $A'=GA$ vérifie: $a'_{pj}=0 =\alpha ', \ \ \ a'_{qj}=0=\beta ' ?$ Est–ce que la solution est unique?

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