$\left| \begin{array}{ccc} 1&2&3\\ 0&1&-2\\ 2&1&0 \end{array} \right|=2+2(-7)=-12\neq0$ et le sytème est de Cramer en $x_1$ , $x_2$ et $x_4$ . On note aussi que le système est homogène de rang $3$ et donc que l’ensemble des solutions $F$ est un sous-espace vectoriel de $\Rr^5$ de dimension $5-3=2$ .

$\begin{align*}\ensuremath \left\{ \begin{array}{l} x_1+2x_2-x_3+3x_4+x_5=0\\ x_2+x_3-2x_4+2x_5=0\\ 2x_1+x_2-5x_3-4x_5=0 \end{array} \right.&\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} x_1+2x_2+3x_4=x_3-x_5\\ x_2-2x_4=-x_3-2x_5\\ 2x_1+x_2=5x_3+4x_5 \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} x_2=-2x_1+5x_3+4x_5\\ x_4=\frac{1}{2}((-2x_1+5x_3+4x_5)+x_3+2x_5)\\ x_1+2x_2+3x_4=x_3-x_5 \end{array} \right. \\ &\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} x_2=-2x_1+5x_3+4x_5\\ x_4=-x_1+3x_3+3x_5\\ x_1+2(-2x_1+5x_3+4x_5)+3(-x_1+3x_3+3x_5)=x_3-x_5 \end{array} \right. \\ &\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x_1=3x_3+3x_5 x_2=-x_3-2x_5\\ x_4=0 \end{array} \right. \end{align*}$

L’ensemble des solutions est $F=\{(3x_3+3x_5,-x_3-2x_5,x_3,0,x_5),\;(x_3,x_5)\in\Rr^2\}=\mbox{Vect}(e_1,e_2)$ où $e_1=(3,-1,1,0,0)$ et $e_2=(3,-2,0,0,1)$ et, puisque $\mbox{dim}F=2$ , une base de $F$ est $(e_1,e_2)$ .

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