\(\left| \begin{array}{ccc} 1&2&3\\ 0&1&-2\\ 2&1&0 \end{array} \right|=2+2(-7)=-12\neq0\) et le sytème est de Cramer en \(x_1\), \(x_2\) et \(x_4\). On note aussi que le système est homogène de rang \(3\) et donc que l’ensemble des solutions \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(\Rr^5\) de dimension \(5-3=2\).

\[\begin{align*}\ensuremath \left\{ \begin{array}{l} x_1+2x_2-x_3+3x_4+x_5=0\\ x_2+x_3-2x_4+2x_5=0\\ 2x_1+x_2-5x_3-4x_5=0 \end{array} \right.&\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} x_1+2x_2+3x_4=x_3-x_5\\ x_2-2x_4=-x_3-2x_5\\ 2x_1+x_2=5x_3+4x_5 \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} x_2=-2x_1+5x_3+4x_5\\ x_4=\frac{1}{2}((-2x_1+5x_3+4x_5)+x_3+2x_5)\\ x_1+2x_2+3x_4=x_3-x_5 \end{array} \right. \\ &\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} x_2=-2x_1+5x_3+4x_5\\ x_4=-x_1+3x_3+3x_5\\ x_1+2(-2x_1+5x_3+4x_5)+3(-x_1+3x_3+3x_5)=x_3-x_5 \end{array} \right. \\ &\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x_1=3x_3+3x_5 x_2=-x_3-2x_5\\ x_4=0 \end{array} \right. \end{align*}\]

L’ensemble des solutions est \(F=\{(3x_3+3x_5,-x_3-2x_5,x_3,0,x_5),\;(x_3,x_5)\in\Rr^2\}=\mbox{Vect}(e_1,e_2)\) où \(e_1=(3,-1,1,0,0)\) et \(e_2=(3,-2,0,0,1)\) et, puisque \(\mbox{dim}F=2\), une base de \(F\) est \((e_1,e_2)\).

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