On résout par opérations sur les lignes afin de faire apparaître un système triangulaire (principe du pivot de Gauss)et achever la résolution par substitution : $\begin{aligned} & \left\{\begin{aligned} 2 x+4 y+3 z-t & =5 \\ x+2 y+4 z-3 t & =10 \\ -x+4 y+3 z-2 t & =1 \\ 3 x+y-z+2 t & =0 \end{aligned}\right. \\ & \begin{array}{l} \ell_1 \leftarrow \ell_1 \\ \ell_2 \leftarrow \ell_3+\ell_4 \\ \ell_3 \leftarrow-\frac{1}{5} \ell_2 \\ \ell_4 \leftarrow \ell_4 \end{array}\left\{\begin{aligned} x+2 y+4 z-3 t & =10 \\ y-6 z+6 t & =-19 \\ z-t & =3 \\ -5 y-13 z+11 t & =-30 \end{aligned}\right. \\ & \begin{array}{l} \ell_1 \leftarrow \ell_1 \\ \ell_2 \leftarrow \ell_2 \\ \ell_3 \leftarrow \ell_3 \\ \ell_4 \leftarrow \ell_4+5 \ell_2 \end{array} \quad\left\{\begin{aligned} x+2 y+4 z-3 t & =10 \\ y-6 z+6 t & =-19 \\ z-t & =3 \\ -43 z+41 t & =-125 \end{aligned}\right. \\ & \begin{array}{l} \ell_1 \leftarrow \ell_1 \\ \ell_2 \leftarrow \ell_2 \\ \ell_3 \leftarrow \ell_3 \\ \ell_4 \leftarrow \ell_4+43 \ell_3 \end{array}\left\{\begin{aligned} x+2 y+4 z-3 t & =10 \\ y-6 z+6 t & =-19 \\ z-t & =3 \\ -2 t & =4 \end{aligned}\right. \\ & \end{aligned}$

$\mathcal{S} = \{(2,-1,1,-2)\}$

Résolution de système linéaire