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Soit $G$ un groupe non commutatif d’ordre $8$.

(a) Montrer que $G$ contient un élément $a$ d’ordre $4$ et que le sous-groupe $H$ de $G$ engendré par $a$ est distingué dans $G$.

(b) On suppose ici qu’il existe un élément $b$ de $G\setminus H$ qui est d’ordre $2$. Soit $K$ le sous-groupe engendré par $b$. Montrer que dans ce cas $G$ est isomorphe au produit semi-direct de $H$ par $K$, le générateur $b$ de $K$ agissant sur $H$ via l’automorphisme $x \rightarrow x^{-1}$. Le groupe est alors isomorphe au groupe diédral $D_4$.

(c) Dans le cas contraire, soit $b$ un élément d’ordre $4$ de $G$ n’appartenant pas à $H$. Montrer que $a^2$ est le seul élément d’ordre $2$ de $G$, que le centre $Z(G)$ de $G$ est égal à $\{ 1, a^2 \}$. On pose $-1=a^2$. Montrer que $a$ et $b$ vérifient les relations suivantes: $a^2=b^2=-1$, $bab^{-1} =a^{-1}$. Enfin on pose $ab=c$. Vérifier les relations suivantes: $$a^2=b^2=c^2=-1 \quad ab=-ba=c \quad bc=-cb=a \quad ca=-ac=b$$ (l’écriture $-x$ signifiant ici $(-1)x$). Ce dernier groupe est le groupe des quaternions.