Soit \(G\) un groupe non commutatif d’ordre \(8\).
(a) Montrer que \(G\) contient un élément \(a\) d’ordre \(4\) et que le sous-groupe \(H\) de \(G\) engendré par \(a\) est distingué dans \(G\).
(b) On suppose ici qu’il existe un élément \(b\) de \(G\setminus H\) qui est d’ordre \(2\). Soit \(K\) le sous-groupe engendré par \(b\). Montrer que dans ce cas \(G\) est isomorphe au produit semi-direct de \(H\) par \(K\), le générateur \(b\) de \(K\) agissant sur \(H\) via l’automorphisme \(x \rightarrow x^{-1}\). Le groupe est alors isomorphe au groupe diédral \(D_4\).
(c) Dans le cas contraire, soit \(b\) un élément d’ordre \(4\) de \(G\) n’appartenant pas à \(H\). Montrer que \(a^2\) est le seul élément d’ordre \(2\) de \(G\), que le centre \(Z(G)\) de \(G\) est égal à \(\{ 1, a^2 \}\). On pose \(-1=a^2\). Montrer que \(a\) et \(b\) vérifient les relations suivantes: \(a^2=b^2=-1\), \(bab^{-1} =a^{-1}\). Enfin on pose \(ab=c\). Vérifier les relations suivantes: \[a^2=b^2=c^2=-1 \quad ab=-ba=c \quad bc=-cb=a \quad ca=-ac=b\] (l’écriture \(-x\) signifiant ici \((-1)x\)). Ce dernier groupe est le groupe des quaternions.