exo7 2203

Soit $G$ un groupe simple d’ordre $60$.

(a) Montrer que $G$ admet $6$ $5$-Sylow, et que l’action de conjugaison sur ses $5$-Sylow définit un morphisme injectif $\alpha : G \rightarrow S_6$, une fois une numérotation des $5$-Sylow de $G$ choisie. Montrer que l’image $\alpha (G)=H$ est contenue dans $A_6$.

(b) On considère l’action de $A_6$ par translation à gauche sur l’ensemble $A_6/.H$ des classes à gauche. Montrer qu’elle définit un isomorphisme $\varphi : A_6 \rightarrow A_6$, une fois une numérotation des éléments de $A_6/.H$ choisie.

(c) Montrer que $\varphi (H)$ est le fixateur de la classe de l’élément neutre $H$, et en conclure que $G \simeq A_5$.