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Soit \(G\) un groupe simple d’ordre \(60\).
(a) Montrer que \(G\) admet \(6\) \(5\)-Sylow, et que l’action de conjugaison sur ses \(5\)-Sylow définit un morphisme injectif \(\alpha : G \rightarrow S_6\), une fois une numérotation des \(5\)-Sylow de \(G\) choisie. Montrer que l’image \(\alpha (G)=H\) est contenue dans \(A_6\).
(b) On considère l’action de \(A_6\) par translation à gauche sur l’ensemble \(A_6/.H\) des classes à gauche. Montrer qu’elle définit un isomorphisme \(\varphi : A_6 \rightarrow A_6\), une fois une numérotation des éléments de \(A_6/.H\) choisie.
(c) Montrer que \(\varphi (H)\) est le fixateur de la classe de l’élément neutre \(H\), et en conclure que \(G \simeq A_5\).