Soit \(G\) un groupe non abélien d’ordre \(8\).
1
Montrer que \(G\) contient un élément d’ordre \(4\). Soit \(H\) le sous-groupe qu’il engendre.
2
Montrer que si \(G-H\) contient un élément d’ordre \(2\), \(G\) est un produit semi-direct. Après avoir vérifié que \(Aut(\Z/4\Z)=\Z/2\Z\), montrer qu’il existe une unique structure de tel produit semi-direct non abélien.
3
Montrer que si \(G-H\) n’a pas d’élément d’ordre \(2\), on retrouve la table de \(H_8\) en choisissant \(i\) l’élément d’ordre \(4\) qui engendre \(H\) et \(j\) un élément d’ordre \(4\) dans \(G-H\). On pourra montrer que \(i^2\) est le seul élément d’ordre \(2\) est qu’il est donc central. On le notera \(-1\).