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Montrer que $G$ contient un élément d’ordre $4$. Soit $H$ le sous-groupe qu’il engendre.

Montrer que si $G-H$ contient un élément d’ordre $2$, $G$ est un produit semi-direct. Après avoir vérifié que $Aut(\Z/4\Z)=\Z/2\Z$, montrer qu’il existe une unique structure de tel produit semi-direct non abélien.

Montrer que si $G-H$ n’a pas d’élément d’ordre $2$, on retrouve la table de $H_8$ en choisissant $i$ l’élément d’ordre $4$ qui engendre $H$ et $j$ un élément d’ordre $4$ dans $G-H$. On pourra montrer que $i^2$ est le seul élément d’ordre $2$ est qu’il est donc central. On le notera $-1$.