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Enumérer quatre groupes d’ordre $8$, deux à deux non isomorphes, et même $5$ si possible.

On suppose que tous les éléments de $G$ sont d’ordre $2$. Montrer que $G$ est abélien. Soit $a$ et $b$ deux éléments non neutres distincts de $G$. Montrer que $\{e,a,b,ab\}$ est un sous-groupe d’ordre $4$ de $G$. Déterminer un isomorphisme de $G$ avec un groupe connu.

On suppose que $G$ admet un élément $a$ d’ordre $4$. Soit $b$ un élément hors du sous-groupe engendré par $a$. Montrer que $<a>$ est distingué et que $b^2$ appartient à $<a>$.

Quel est l’ordre de $b$ si $b^2=a$ ou si $b^2=a^3$ ? Conclure dans ce cas.

Si $b^2=e$, montrer que $G$ est un produit semi-direct et en déduire un isomorphisme avec un groupe connu.

Si tous les éléments hors de $<a>$ ont un carré égal à $a^2$, établir la liste des éléments et la table de multiplication de $G$ à l’aide seulement de $a$ et $b$.