Soit \(G\) un groupe d’ordre \(8\).
Enumérer quatre groupes d’ordre \(8\), deux à deux non isomorphes, et même \(5\) si possible.
On suppose que tous les éléments de \(G\) sont d’ordre \(2\). Montrer que \(G\) est abélien. Soit \(a\) et \(b\) deux éléments non neutres distincts de \(G\). Montrer que \(\{e,a,b,ab\}\) est un sous-groupe d’ordre \(4\) de \(G\). Déterminer un isomorphisme de \(G\) avec un groupe connu.
On suppose que \(G\) admet un élément \(a\) d’ordre \(4\). Soit \(b\) un élément hors du sous-groupe engendré par \(a\). Montrer que \(<a>\) est distingué et que \(b^2\) appartient à \(<a>\).
Quel est l’ordre de \(b\) si \(b^2=a\) ou si \(b^2=a^3\) ? Conclure dans ce cas.
Si \(b^2=e\), montrer que \(G\) est un produit semi-direct et en déduire un isomorphisme avec un groupe connu.
Si tous les éléments hors de \(<a>\) ont un carré égal à \(a^2\), établir la liste des éléments et la table de multiplication de \(G\) à l’aide seulement de \(a\) et \(b\).