Le groupe \(P\) est un \(p\)-sous groupe maximal de \(G\) et donc aussi de \(HP\) puisque \(P\subset HP\) (noter que \(HP\) est un sous-groupe car \(H\) est supposé distingué dans \(G\)); \(P\) est donc un \(p\)-Sylow de \(HP\). Si \(|P|=p^n\), alors \(|HP|=p^n s\) avec \(p\) ne divisant pas \(s\). On peut aussi écrire \(|H|=p^{m} r\) avec \(p\) ne divisant pas \(r\); on a alors nécessairement \(m\leq n\) et \(s\) multiple de \(r\). On a aussi \(HP/H \simeq P/(H\cap P)\) ce qui donne \(|H\cap P| = |P||H|/|HP| = p^m (r/s)\). On obtient donc que \(s=r\) et que \(H\cap P\) est un \(p\)-Sylow du groupe \(H\).

On a aussi \(|G|=p^n t\) avec \(p\) ne divisant pas \(t\) et \(t\) multiple de \(s\). On en déduit \(|G/H| = p^{n-m} (t/r)\). Comme \(t/r\) est un entier non divisible par \(p\) et que \(HP/H\) est un sous-groupe de \(G/H\) d’ordre \(|HP/H| = p^{n-m}\), le groupe \(HP/H\) est un \(p\)-Sylow de \(G/H\).

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