Le groupe $P$ est un $p$ -sous groupe maximal de $G$ et donc aussi de $HP$ puisque $P\subset HP$ (noter que $HP$ est un sous-groupe car $H$ est supposé distingué dans $G$ ); $P$ est donc un $p$ -Sylow de $HP$ . Si $|P|=p^n$ , alors $|HP|=p^n s$ avec $p$ ne divisant pas $s$ . On peut aussi écrire $|H|=p^{m} r$ avec $p$ ne divisant pas $r$ ; on a alors nécessairement $m\leq n$ et $s$ multiple de $r$ . On a aussi $HP/H \simeq P/(H\cap P)$ ce qui donne $|H\cap P| = |P||H|/|HP| = p^m (r/s)$ . On obtient donc que $s=r$ et que $H\cap P$ est un $p$ -Sylow du groupe $H$ .

On a aussi $|G|=p^n t$ avec $p$ ne divisant pas $t$ et $t$ multiple de $s$ . On en déduit $|G/H| = p^{n-m} (t/r)$ . Comme $t/r$ est un entier non divisible par $p$ et que $HP/H$ est un sous-groupe de $G/H$ d’ordre $|HP/H| = p^{n-m}$ , le groupe $HP/H$ est un $p$ -Sylow de $G/H$ .

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