exo7 2201

(a) Donner l’ensemble ${\cal D}$ des ordres possibles des éléments du groupe alterné $A_5$ et pour chaque $d\in {\cal D}$, indiquer le nombre d’éléments de $A_5$ d’ordre $d$.

(b) Montrer que, pour $d=2$ et $d=3$, les éléments d’ordre $d$ sont conjugués, et que les sous-groupes d’ordre $5$ sont conjugués.

(c) Déduire une preuve de la simplicité de $A_5$.