Soit \(\mathcal{P}_n\) un polygone régulier à \(n\) côtés dans le plan euclidien orienté. On appelle groupe diédral \(D_{n}\) le groupe des isométries de \(\mathcal{P}_n\).
1
Rappeler sans démonstration la liste complète des éléments de \(D_{n}\).
2
Décrire un sous-groupe cyclique d’ordre \(n\) dans \(D_{n}\).
3
On écrit \(n=2^kn'\) où \(n'\) est impair. En considérant un polygone régulier inscrit, décrire une application injective de \(D_{2^{k}}\) dans \(D_{n}\). Faire une figure dans le cas \(n=12\).
4
Décrire pour chaque diviseur premier \(p\) de \(2n\), un \(p\)-Sylow de \(D_{n}\).