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Soit $G$ un $p$-groupe d’ordre $p^r$.

(a) Montrer que pour tout entier $k\leq r$, $G$ possède un sous-groupe distingué d’ordre $p^k$.

(b) Montrer qu’il existe une suite $G_0=\{1\} \subset G_1 \subset \ldots \subset G_r=G$ de sous-groupes $G_i$ distingués d’ordre $p^i$ ($i=1,\ldots,r$).

(c) Montrer que pour tout sous-groupe $H$ de $G$ d’ordre $p^s$ avec $s<r$, il existe un sous-groupe d’ordre $p^{s+1}$ de $G$ qui contient $H$.