exo7 2204

Soient $p<q$ deux nombres premiers distincts et $G$ un groupe d’ordre $pq$. Montrer que $G$ admet un unique $q$-Sylow $Q$ qui est distingué et que $G=QP$, où $P$ est un $p$-Sylow de $G$. Montrer que $G$ est isomorphe au produit semi-direct d’un groupe cyclique d’ordre $q$ par un groupe cyclique d’ordre $p$. Montrer que si $q-1$ n’est pas divisible par $p$, ce produit semi-direct est en fait un produit direct.