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Donner les structures de cycles possibles dans \(\mathcal{S}_4\), le nombre d’éléments de \(\mathcal{S}_4\) ayant cette structure, et leur signature. Déterminer les sous-groupes distingués de \(\mathcal{S}_4\). En déduire que \(\mathcal{A}_4\) n’est pas un groupe simple, i.e. qu’il possède des sous-groupes distingués autres que \(\lbrace e\rbrace\) et \(\mathcal{A}_4\).
Déterminer les sous-groupes de Sylow de \(\mathcal{S}_4\).