Le nombre de \(q\)-Sylow d’un groupe \(G\) d’ordre \(p^2q\) est \(\equiv 1\ [\hbox{\rm mod}\ q]\) et divise \(p^2\). Ce ne peut être ni \(p\) ni \(p^2\) car \(p^2-1\) est supposé non divisible par \(q\); c’est donc \(1\). De même le nombre de \(p\)-Sylow est \(\equiv 1\ [\hbox{\rm mod}\ p]\) et divise \(q\) et ce ne peut être \(q\) car \(q-1\) est supposé non divisible par \(p\); c’est donc \(1\). Ainsi il y a un unique \(p\)-Sylow \(P\) d’ordre \(p^2\), et donc abélien, et un unique \(q\)-Sylow \(Q\) d’ordre \(q\), et donc cyclique, tous deux nécessairement distingués. Il en résulte que tout élément \(x\in P\) commute avec tout élément \(y\in Q\): en effet le commutateur \(xyx^{-1}y^{-1} = (xyx^{-1})y^{-1}= x(yx^{-1}y^{-1})\) est dans l’intersection \(P\cap Q\) qui est le groupe trivial. Cela montre que le groupe \(PQ\) est abélien; il est isomorphe au produit direct \(P\times Q\) et est donc de cardinal \(|P|\hskip 2pt |Q| = p^2q=|G|\). D’où finalement \(G=PQ\) est abélien.

exo7 2206