Le nombre de $q$ -Sylow d’un groupe $G$ d’ordre $p^2q$ est $\equiv 1\ [\hbox{\rm mod}\ q]$ et divise $p^2$ . Ce ne peut être ni $p$ ni $p^2$ car $p^2-1$ est supposé non divisible par $q$ ; c’est donc $1$ . De même le nombre de $p$ -Sylow est $\equiv 1\ [\hbox{\rm mod}\ p]$ et divise $q$ et ce ne peut être $q$ car $q-1$ est supposé non divisible par $p$ ; c’est donc $1$ . Ainsi il y a un unique $p$ -Sylow $P$ d’ordre $p^2$ , et donc abélien, et un unique $q$ -Sylow $Q$ d’ordre $q$ , et donc cyclique, tous deux nécessairement distingués. Il en résulte que tout élément $x\in P$ commute avec tout élément $y\in Q$ : en effet le commutateur $xyx^{-1}y^{-1} = (xyx^{-1})y^{-1}= x(yx^{-1}y^{-1})$ est dans l’intersection $P\cap Q$ qui est le groupe trivial. Cela montre que le groupe $PQ$ est abélien; il est isomorphe au produit direct $P\times Q$ et est donc de cardinal $|P|\hskip 2pt |Q| = p^2q=|G|$ . D’où finalement $G=PQ$ est abélien.

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