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Montrer que le centre de $G$ est d’ordre $p$ et égal à son sous-groupe dérivé $Z(G)=D(G)$.

En déduire que le nombre de classes de conjugaison est $p^2+p-1$. (On pourra étudier l’action de $G$ sur lui-même par conjugaison : ses points fixes, l’orbite des éléments, le stabilisateur des éléments et appliquer la formule de Burnside...)

Montrer que $G/Z(G)$ est isomorphe à $\Z/p\Z\times \Z/p\Z$.

Montrer que tout sous-groupe de $G$ d’ordre $p^2$ contient le centre $Z(G)$ de $G$, et que donc $G$ n’est pas un produit semi-direct de son centre par son abélianisé.