Soit \(G\) un groupe non abélien d’ordre \(p^3\) où \(p\) est un nombre premier.
1
Montrer que le centre de \(G\) est d’ordre \(p\) et égal à son sous-groupe dérivé \(Z(G)=D(G)\).
2
En déduire que le nombre de classes de conjugaison est \(p^2+p-1\). (On pourra étudier l’action de \(G\) sur lui-même par conjugaison : ses points fixes, l’orbite des éléments, le stabilisateur des éléments et appliquer la formule de Burnside...)
3
Montrer que \(G/Z(G)\) est isomorphe à \(\Z/p\Z\times \Z/p\Z\).
4
Montrer que tout sous-groupe de \(G\) d’ordre \(p^2\) contient le centre \(Z(G)\) de \(G\), et que donc \(G\) n’est pas un produit semi-direct de son centre par son abélianisé.