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Soit \(G\) un groupe simple d’ordre \(60\).
(a) Montrer que \(G\) n’admet pas de sous-groupe d’ordre \(20\).
(b) Montrer que si \(G\) admet un sous-groupe \(K\) d’ordre \(12\), alors \(K\) admet \(4\) \(3\)-Sylow.
(c) Montrer que si \(H\) et \(K\) sont deux sous-groupes distinct d’ordre \(4\) de \(G\) alors \(H\cap K=\{1\}\).
(d) Montrer que si \(H\) est un \(2\)-Sylow, alors \(H\not= \hbox{\rm Nor}_G(H)\).
(e) Montrer que \(G\) possède \(5\) \(2\)-Sylow.
(f) Conclure en considérant l’action de \(G\) par conjugaison sur les \(5\)-Sylow.