(a) Si $K$ est un sous-groupe d’ordre $20$ , $K$ a un seul $5$ -Sylow $L$ et donc $K\subset \hbox{\rm Nor}_G(L)$ ce qui entraine que l’ordre de $\hbox{\rm Nor}_G (L)$ est $20$ ou $60$ . Mais alors il y aurait $1$ ou $3$ $5$ -Sylow dans $G$ . Or $1$ est impossible car $G$ est simple et $3$ contredit les prédictions du théorème de Sylow.

(b) Si $K$ a un unique $3$ -Sylow $L$ , $K\subset \hbox{\rm Nor}_G(L)$ , et donc l’ordre de $\hbox{\rm Nor}_G (L)$ serait $12$ ou $60$ . Il y aurait alors $5$ ou $1$ $3$ -Sylow dans $G$ . Comme ci-dessus, c’est impossible.

(c) Supposons que $H\cap K =<a>$ soit d’ordre $2$ . Le centralisateur $\hbox{\rm Cen}_G(a)$ de $a$ contient $H$ et $K$ , donc $H\cup K$ . Son ordre est au moins $6$ et est divisible par $4$ . Les seules possibilités sont $12$ , $20$ , $60$ :

- $60$ est impossible, car $<a>$ serait distingué dans $G$

- $20$ est impossible, d’après la question (a)

- $12$ est impossible, car $\hbox{\rm Cen}_G(a)$ aurait $4$ $3$ -Sylow d’après la question (b). Il ne resterait de la place que pour un seul $2$ -Sylow ce qui contredit $H\cup K \subset \hbox{\rm Cen}_G(a)$ .

(d) Si $H=\hbox{\rm Nor}_G(H)$ , il y a $15$ $2$ -Sylow, et donc $46$ éléments d’ordre une puissance de $2$ . Or il y a $6$ $5$ -Sylow d’intersections deux à deux triviales, et donc $24$ éléments d’ordre $5$ . L’inégalité $46+24 > 60$ fournit une contradiction.

(e) Si $H$ est un $2$ -Sylow, l’ordre de $\hbox{\rm Nor}_G(H)$ est $12$ , $20$ ou $60$ . Mais $20$ est exclu (question (a)) de même que $60$ ( $G$ est simple). La seule possibilité est $12$ ; il y a donc $5$ $2$ -Sylow.

(f) L’action de $G$ par conjugaison sur les $5$ -Sylow fournit un morphisme $c:G\rightarrow S_5$ qui est injectif (car $G$ est simple). Le groupe $G$ est donc isomorphe à son image $c(G)$ qui est un sous-groupe d’ordre $60$ , donc d’indice $2$ dans $S_5$ . C’est donc $A_5$ .

exo7 2209