Soit $G$ un groupe d’ordre $p^2q$ qu’on suppose simple. On distingue deux cas:

: $p>q$ . Le nombre de $p$ -Sylow de $G$ est $\equiv 1\ [\hbox{\rm mod}\ p]$ et divise $q$ . Comme $G$ est simple, ce ne peut être $1$ (car sinon l’unique $p$ -Sylow serait distingué). Il y a donc $q$ $p$ -Sylow d’ordre $p^2$ , lesquels sont conjugués. L’action par conjugaison de $G$ sur ces $q$ $p$ -Sylow définit un morphisme $G \rightarrow S_q$ non trivial (car l’action est transitive) et donc injectif puisque le noyau, distingué et $\not=G$ , est forcément trivial. On en déduit que $p^2q$ divise $q!$ et donc $p$ divise un entier entre $1$ et $q-1$ , ce qui contredit l’hypothèse $p>q$ .

: $p<q$ . Le nombre de $q$ -Sylow de $G$ est $\equiv 1\ [\hbox{\rm mod}\ q]$ et divise $p^2$ . Comme ci-dessus, $G$ étant simple, ce ne peut être $1$ . Ce ne peut-être ni $p$ ni $p^2$ . En effet, dans le cas contraire, $p$ serait $\equiv \pm 1\ [\hbox{\rm mod}\ q]$ et donc $p\geq q-1$ . Comme $p<q$ , la seule possibilité est $p=q-1$ et donc $p=2$ et $q=3$ . Dans ce dernier cas, il y a $4$ $3$ -Sylow d’ordre $3$ qui contiennent $8$ éléments d’ordre $3$ . Ne reste de la place que pour un seul $2$ -Sylow qui devrait être distingué. Ce dernier cas n’est donc lui non plus pas possible.

Conclusion: il n’existe pas de groupe $G$ simple d’ordre $p^2q$ .

exo7 2207