(a) Soit \(G\) un groupe non abélien d’ordre \(12\). Soit \(H\) un \(3\)-Sylow de \(G\). On considère le morphisme \(\theta: G \rightarrow S_{G/H}\) correspondant à l’action de \(G\) par translation de \(G\) sur \(G/H\). Montrer que ce morphisme n’est pas injectif si et seulement si \(H\) est distingué dans \(G\). En déduire que si \(H\) n’est pas distingué dans \(G\), le groupe \(G\) est isomorphe à \(A_4\).
(b) On suppose que \(G\) n’est pas isomorphe à \(A_4\). Montrer qu’alors \(G\) admet un unique \(3\)-Sylow \(H=\{ 1, a,a^2 \}\). Montrer ensuite que si \(G\) contient un élément \(b\) d’ordre \(4\), \(a\) et \(b\) vérifient les relations: \[a^3=b^4=1 \quad bab^{-1}= a^2=a^{-1}\]
Montrer que dans le cas contraire \(G\simeq D_6\).
(c) Donner la liste des classes d’isomorphisme de groupes d’ordre \(12\).