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(a) Soit $G$ un groupe non abélien d’ordre $12$. Soit $H$ un $3$-Sylow de $G$. On considère le morphisme $\theta: G \rightarrow S_{G/H}$ correspondant à l’action de $G$ par translation de $G$ sur $G/H$. Montrer que ce morphisme n’est pas injectif si et seulement si $H$ est distingué dans $G$. En déduire que si $H$ n’est pas distingué dans $G$, le groupe $G$ est isomorphe à $A_4$.

(b) On suppose que $G$ n’est pas isomorphe à $A_4$. Montrer qu’alors $G$ admet un unique $3$-Sylow $H=\{ 1, a,a^2 \}$. Montrer ensuite que si $G$ contient un élément $b$ d’ordre $4$, $a$ et $b$ vérifient les relations: $$a^3=b^4=1 \quad bab^{-1}= a^2=a^{-1}$$

Montrer que dans le cas contraire $G\simeq D_6$.

(c) Donner la liste des classes d’isomorphisme de groupes d’ordre $12$.