Le groupe alterné \(A_5\) est d’ordre \(60=2^2.3.5\).

Les \(5\)-Sylow sont d’ordre \(5\), donc cycliques; chacun est engendré par un \(5\)-cycle et contient \(4\) \(5\)-cycles. Les \(5\)-Sylow sont deux à deux d’intersection réduite à \(\{1\}\). Comme il y a \(24\) \(5\)-cycles dans \(A_5\), il y a \(6\) \(5\)-Sylow. (On peut aussi utiliser les théorèmes de Sylow: Le nombre de \(5\)-Sylow est \(\equiv 1\ [\hbox{\rm mod}\ 5]\) et divise \(12\); c’est donc \(1\) ou \(6\). Comme ce ne peut être \(1\) (car il y aurait alors un unique \(5\)-Sylow qui serait distingué, ce qui est impossible car \(A_5\) est simple),

c’est \(6\).)

Les \(3\)-Sylow sont d’ordre \(3\), donc cycliques; chacun est engendré par un \(3\)-cycle et contient \(2\) \(3\)-cycles. Les \(3\)-Sylow sont deux à deux d’intersection réduite à \(\{1\}\). Comme il y a \(20\) \(3\)-cycles dans \(A_5\), il y a \(10\) \(3\)-Sylow. (Par les théorèmes de Sylow: le nombre de \(3\)-Sylow est \(\equiv 1\ [\hbox{\rm mod}\ 3]\) et divise \(20\); c’est donc \(1\), \(4\) ou \(10\). Comme ci-dessus, ce ne peut être \(1\). Si c’etait \(4\), la conjugaison de \(A_5\) sur ces \(3\)-Sylow induirait un morphisme \(A_5\rightarrow S_4\) non trivial (puisque cette action par conjugaison est transitive) et donc injectif (puisque le noyau, distingué, est forcément trivial). Or l’ordre de \(A_5\) ne divise pas celui de \(S_4\). Il y a donc 10 \(3\)-Sylow.)

Les \(2\)-Sylow sont d’ordre \(4\), donc commutatifs. Comme il n’y a pas d’élément d’ordre \(4\) dans \(A_5\), chaque \(2\)-Sylow est isomorphe au groupe \(\Zz/2\Zz \times \Zz/2\Zz\); il est engendré par deux produits de deux transpositions qui commutent et contient \(3\) éléments d’ordre \(2\). On voit ensuite que ces trois éléments d’ordre \(2\) sont les \(3\) produits de deux transpositions qui commutent qu’on peut former avec quatre éléments de \(\{1,\ldots,5\}\). On en déduit que les \(2\)-Sylow sont deux à deux d’intersection réduite à \(\{1\}\). Il y a \(15\) éléments d’ordre \(2\) dans \(A_5\) et il y a \(5\) \(2\)-Sylow.

Tout élément de \(A_5\) est d’ordre \(1\), \(2\), \(3\) ou \(5\) et est donc contenu dans un \(p\)-Sylow. On a bien \(6.4+10.2 + 5.3+1 = 60\).

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