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Soit $G$ un groupe d’ordre $399$.

(a) Montrer que $G$ admet un unique $19$-Sylow $P$ qui est distingué dans $G$.

(b) Soit $Q$ un $7$-Sylow. Montrer que $N=PQ$ est un sous-groupe d’ordre $133$ de $G$ et que ce groupe est cyclique.

(c) On suppose que $Q$ n’est pas distingué dans $G$. Montrer que $G$ admet $57$ sous-groupes cycliques d’ordre $133$ distincts deux à deux. Quel serait le nombre d’éléments d’ordre $133$ dans $G$? Aboutir à une contradiction. En déduire que $Q$ est distingué dans $G$ et que $N$ est distingué dans $G$.

(d) Montrer que $G=NR$, où $R$ est un $3$-Sylow. En déduire que $G$ est isomorphe au produit semi-direct d’un groupe cyclique d’ordre $133$ par un groupe cyclique d’ordre $3$.