Soit \(G\) un groupe d’ordre \(399\).
(a) Montrer que \(G\) admet un unique \(19\)-Sylow \(P\) qui est distingué dans \(G\).
(b) Soit \(Q\) un \(7\)-Sylow. Montrer que \(N=PQ\) est un sous-groupe d’ordre \(133\) de \(G\) et que ce groupe est cyclique.
(c) On suppose que \(Q\) n’est pas distingué dans \(G\). Montrer que \(G\) admet \(57\) sous-groupes cycliques d’ordre \(133\) distincts deux à deux. Quel serait le nombre d’éléments d’ordre \(133\) dans \(G\)? Aboutir à une contradiction. En déduire que \(Q\) est distingué dans \(G\) et que \(N\) est distingué dans \(G\).
(d) Montrer que \(G=NR\), où \(R\) est un \(3\)-Sylow. En déduire que \(G\) est isomorphe au produit semi-direct d’un groupe cyclique d’ordre \(133\) par un groupe cyclique d’ordre \(3\).