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Soit $G$ un groupe de cardinal $p^2$, montrer que, ou bien $G$ est cyclique ou bien tous les éléments différents de l’élément neutre sont d’ordre $p$.

Soit $G$ un groupe non cyclique d’ordre $p^2$, soit $K$ un sous-groupe d’ordre $p$, montrer que $K$ est distingué dans $G$ et qu’il existe $H$ sous-groupe d’ordre $p$ tel que $K\cap H = \{e\}$. En déduire que $G$ est ismorphe à un produit semi-direct de $\Z/p\Z$ par $\Z/p\Z$.

Montrer que tout groupe de cardinal $p^2$ est isomorphe à $\Z/p^2\Z$ ou $\Z/p\Z \times \Z/p\Z$.