Soit \(p\) un nombre premier impair, on se propose de décrire les groupes d’ordre \(p^2\) à isomorphisme près.
1
Soit \(G\) un groupe de cardinal \(p^2\), montrer que, ou bien \(G\) est cyclique ou bien tous les éléments différents de l’élément neutre sont d’ordre \(p\).
2
Soit \(G\) un groupe non cyclique d’ordre \(p^2\), soit \(K\) un sous-groupe d’ordre \(p\), montrer que \(K\) est distingué dans \(G\) et qu’il existe \(H\) sous-groupe d’ordre \(p\) tel que \(K\cap H = \{e\}\). En déduire que \(G\) est ismorphe à un produit semi-direct de \(\Z/p\Z\) par \(\Z/p\Z\).
3
Montrer que tout groupe de cardinal \(p^2\) est isomorphe à \(\Z/p^2\Z\) ou \(\Z/p\Z \times \Z/p\Z\).