Soit \(G\) un groupe d’ordre \(pq\), où \(p\) et \(q\) sont deux nombres premiers distincts. On suppose que \(p<q\).
1
Montrer qu’il n’y a qu’un \(q\)-Sylow \(Q\) et qu’il est distingué.
2
Montrer que \(G\) est produit semi-direct \(Q\rtimes P\) où \(P\) est un \(p\)-Sylow de \(G\).
3
Si \(p\) ne divise pas \(q-1\), déterminer la structure de \(G\).
4
Si \(p=2\), déterminer le morphisme structurel \(\phi : \Z/p\Z\to Aut(\Z/q\Z)\equiv \Z/(q-1)\Z\). Déterminer alors la structure de \(G\).
5
Si \(p\) divise \(q-1\), montrer qu’il n’y a qu’un seul produit semi-direct non abélien, à isomorphisme près.