exo7 7866

Montrer qu’il n’y a qu’un $q$-Sylow $Q$ et qu’il est distingué.

Montrer que $G$ est produit semi-direct $Q\rtimes P$ où $P$ est un $p$-Sylow de $G$.

Si $p$ ne divise pas $q-1$, déterminer la structure de $G$.

Si $p=2$, déterminer le morphisme structurel $\phi : \Z/p\Z\to Aut(\Z/q\Z)\equiv \Z/(q-1)\Z$. Déterminer alors la structure de $G$.

Si $p$ divise $q-1$, montrer qu’il n’y a qu’un seul produit semi-direct non abélien, à isomorphisme près.