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Montrer que l’application $$\begin{array}{cccc} f~:&\Zz/\alpha_1\Zz\times\Zz/\alpha_2\Zz\times\cdots\times\Zz/\alpha_n\Zz &\to &G\\ & (\overline{h_1},\overline{h_2},\cdots,\overline{h_n})&\mapsto & a_1^{h_1}a_2^{h_2}\cdots a_n^{h_n} \end{array}$$ est une application bien définie. Démontrer que c’est un homomorphisme de groupes puis qu’il est surjectif.

En déduire que $p$ divise $\alpha_1\alpha_2\cdots\alpha_n$.

Montrer qu’il y a dans $G$ un élément d’ordre $p$.

En raisonnant par récurrence sur l’ordre du groupe et en considérant l’ensemble $G/<x>$ où $x$ est un élément d’ordre $p$ dans $G$, montrer que $G$ admet un $p$-Sylow.

Montrer qu’un groupe abélien est simple si et seulement s’il est cyclique, d’ordre un nombre premier.