Soit \(G=\{a_1,a_2,\cdots a_n\}\) un groupe fini. On note \(\alpha_i\) l’ordre de l’élément \(a_i\). Soit \(p\) un diviseur premier de \(\mid G\mid\) l’ordre de \(G\).
Montrer que l’application \[\begin{array}{cccc} f~:&\Zz/\alpha_1\Zz\times\Zz/\alpha_2\Zz\times\cdots\times\Zz/\alpha_n\Zz &\to &G\\ & (\overline{h_1},\overline{h_2},\cdots,\overline{h_n})&\mapsto & a_1^{h_1}a_2^{h_2}\cdots a_n^{h_n} \end{array}\] est une application bien définie. Démontrer que c’est un homomorphisme de groupes puis qu’il est surjectif.
En déduire que \(p\) divise \(\alpha_1\alpha_2\cdots\alpha_n\).
Montrer qu’il y a dans \(G\) un élément d’ordre \(p\).
En raisonnant par récurrence sur l’ordre du groupe et en considérant l’ensemble \(G/<x>\) où \(x\) est un élément d’ordre \(p\) dans \(G\), montrer que \(G\) admet un \(p\)-Sylow.
Montrer qu’un groupe abélien est simple si et seulement s’il est cyclique, d’ordre un nombre premier.