Soit \(E\) un espace muni d’une forme sesquilinéaire non dégénérée réflexive. Soit \(V\) un sous-espace de \(E\). Supposons que le radical \(\text{rad}(V)=V\cap V^\perp\) de \(V\) est de dimension \(2\), \(\text{rad}(V)=\vec (N_1,N_2)\). Soit \(W\) un supplémentaire de \(\text{rad}(V)\) dans \(V\). Calculer en détails le radical de \(V'=\vec (N_1)\oplus W\).
Soit \(E\) un espace muni d’une forme alternée non-dégénérée \(f\). Soit \(G\) le groupe (dit symplectique) des isométries de \((E,f)\). Combien y a-t-il d’orbites dans l’action du groupe \(G\) sur l’ensemble \(P(E)\) des droites de \(E\) ?
Soit \(E\) un espace muni d’une forme alternée non-dégénérée \(f\). Quelles sont les restrictions possibles à équivalence près de \(f\) sur les plans de \(E\) ?
Combien y a-t-il d’orbites dans l’action du groupe symplectique d’un espace vectoriel \(E\) de dimension \(6\) muni d’une forme alternée non-dégénérée sur l’ensemble des plans de \(E\) ?