exo7 7735

Soit $E$ un espace muni d’une forme sesquilinéaire non dégénérée réflexive. Soit $V$ un sous-espace de $E$. Supposons que le radical $\text{rad}(V)=V\cap V^\perp$ de $V$ est de dimension $2$, $\text{rad}(V)=\vec (N_1,N_2)$. Soit $W$ un supplémentaire de $\text{rad}(V)$ dans $V$. Calculer en détails le radical de $V'=\vec (N_1)\oplus W$.

Soit $E$ un espace muni d’une forme alternée non-dégénérée $f$. Soit $G$ le groupe (dit symplectique) des isométries de $(E,f)$. Combien y a-t-il d’orbites dans l’action du groupe $G$ sur l’ensemble $P(E)$ des droites de $E$ ?

Soit $E$ un espace muni d’une forme alternée non-dégénérée $f$. Quelles sont les restrictions possibles à équivalence près de $f$ sur les plans de $E$ ?

Combien y a-t-il d’orbites dans l’action du groupe symplectique d’un espace vectoriel $E$ de dimension $6$ muni d’une forme alternée non-dégénérée sur l’ensemble des plans de $E$ ?