exo7 7889

Soit $(V,f)$ un $k$-espace vectoriel de dimension $2$, muni d’une forme alternée non-dégénérée. Soit $x$ un vecteur non nul. Montrer qu’il existe un vecteur isotrope $y$ tel que $f(x,y)=1$. On dit alors que $(V,f)$ est un plan symplectique.

Soit $V$ un sous-espace vectoriel de $E$. Montrer que si $(V,f_{\mid V})$ est un espace non singulier (i.e. $f_{\mid V}$ non dégénérée) alors $E=V\oplus^\perp V^\perp$.

Montrer que $E$ est somme directe orthogonale de droites isotropes et de plans symplectiques.

Montrer que tous les sous-espaces isotropes maximaux de $E$ ont même dimension. Déterminer cette dimension en fonction de la dimension de $E$ et du rang de $f$.

Retrouver ce résultat en utilisant le théorème de Witt symplectique : Soit $(E,f)$ et $(E',f')$ deux $k$-espaces vectoriels de dimension finie muni d’une forme symplectique (i.e. bilinéaire alternée non-dégénérée). On suppose $(E,f)$ et $(E',f')$ isométriques. Alors, toute isométrie d’un sous-espace de $(E,f)$ sur un sous-espace de $(E',f')$ se prolonge en une isométrie de $(E,f)$ sur $(E',f')$.