Une forme bilinéaire \(f\) sur un \(k\)-espace vectoriel \(E\) est dite alternée, si tout vecteur de \(E\) est isotrope. Soit \((E,f)\) un \(k\)-espace vectoriel de dimension finie muni d’une forme bilinéaire alternée.
Soit \((V,f)\) un \(k\)-espace vectoriel de dimension \(2\), muni d’une forme alternée non-dégénérée. Soit \(x\) un vecteur non nul. Montrer qu’il existe un vecteur isotrope \(y\) tel que \(f(x,y)=1\). On dit alors que \((V,f)\) est un plan symplectique.
Soit \(V\) un sous-espace vectoriel de \(E\). Montrer que si \((V,f_{\mid V})\) est un espace non singulier (i.e. \(f_{\mid V}\) non dégénérée) alors \(E=V\oplus^\perp V^\perp\).
Montrer que \(E\) est somme directe orthogonale de droites isotropes et de plans symplectiques.
Montrer que tous les sous-espaces isotropes maximaux de \(E\) ont même dimension. Déterminer cette dimension en fonction de la dimension de \(E\) et du rang de \(f\).
Retrouver ce résultat en utilisant le théorème de Witt symplectique : Soit \((E,f)\) et \((E',f')\) deux \(k\)-espaces vectoriels de dimension finie muni d’une forme symplectique (i.e. bilinéaire alternée non-dégénérée). On suppose \((E,f)\) et \((E',f')\) isométriques. Alors, toute isométrie d’un sous-espace de \((E,f)\) sur un sous-espace de \((E',f')\) se prolonge en une isométrie de \((E,f)\) sur \((E',f')\).