Soit $n$ un entier supérieur à $3$ . Soit $D_{2n}$ le groupe des isométries d’un polygone régulier $P$ à $n$ côtés d’un plan euclidien réel. Comme toutes les isométries sont affines, l’isobarycentre $G$ des sommets de $P$ est conservé. Les éléments de $D_{2n}$ de déterminant positif sont donc des rotations de centre $G$ , et ceux de déterminant négatif des symétries orthogonales par rapport à des droites passant par $G$ . Comme une rotation qui a deux points fixes est l’identité, les rotations sont d’ordre inférieur à $n$ . Il n’y a donc que les $n$ rotations d’angle multiple de $2\pi/n$ . Comme la composée de deux symétries d’axe passant par $G$ est une rotation, il y a aussi exactement $n$ symétries, obtenues comme produit des $n$ rotations par une symétrie fixée.

L’application $\det~:~D_{2n}\to \{-1,1\}$ est un morphisme de groupes qui a pour image le groupe commutatif $\{-1,1\}$ et pour noyau le groupe commutatif $R_n$ des rotations de centre $G$ d’angle multiple de $2\pi/n$ . Le groupe dérivé $D^{(1)}(D_{2n})$ de $D_{2n}$ est donc inclus dans le sous-groupe commutatif des rotations. Par conséquent, le deuxième groupe dérivé $D^{(2)}(D_{2n})=\{Id\}$ et $D_{2n}$ est résoluble.

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