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Montrer le théorème de Burnside : soit $G$ un groupe fini agissant sur un ensemble fini $E$. Alors le nombre $N$ d’orbites est la moyenne des cardinaux des points fixes des éléments de $G$ et aussi $$N=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}\text{Card} Fix(\phi(g))=\frac{1}{|G|}\sum_{x\in E}\text{Card} stabl(x).$$ On pourra considérer $\{(x,g)\in E\times G / g\cdot x=x\}$.

Soit $G$ un sous-groupe fini de $SO(3)$. On considère son action sur la sphère unité. Soit $X$ l’ensemble des points fixés par un des éléments de $G$ différents de l’identité. Montrer que $X$ est stable par l’action de $G$. Montrer que le stabilisateur d’un élément de $X$ est un groupe cyclique. On notera $N$ le nombre d’orbites de l’action de $G$ sur $X$ et $n_j$ le cardinal du stabilisateur d’un élément de l’orbite $O_j$.

Montrer que $$N|G|=2(|G|-1)+\text{Card} X.$$

Montrer que $$2-\frac{2}{|G|}=\sum_{j=1}^N(1-\frac{1}{n_j}).$$

En déduire que $N=2$ ou $N=3$.

Montrer que si $N=2$, $G$ est un sous-groupe cyclique de rotations.

Si $N=3$, déterminer les possibilités pour les $n_j$.