Montrer le théorème de Burnside : soit \(G\) un groupe fini agissant sur un ensemble fini \(E\). Alors le nombre \(N\) d’orbites est la moyenne des cardinaux des points fixes des éléments de \(G\) et aussi \[N=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}\text{Card} Fix(\phi(g))=\frac{1}{|G|}\sum_{x\in E}\text{Card} stabl(x).\] On pourra considérer \(\{(x,g)\in E\times G / g\cdot x=x\}\).
Soit \(G\) un sous-groupe fini de \(SO(3)\). On considère son action sur la sphère unité. Soit \(X\) l’ensemble des points fixés par un des éléments de \(G\) différents de l’identité. Montrer que \(X\) est stable par l’action de \(G\). Montrer que le stabilisateur d’un élément de \(X\) est un groupe cyclique. On notera \(N\) le nombre d’orbites de l’action de \(G\) sur \(X\) et \(n_j\) le cardinal du stabilisateur d’un élément de l’orbite \(O_j\).
Montrer que \[N|G|=2(|G|-1)+\text{Card} X.\]
Montrer que \[2-\frac{2}{|G|}=\sum_{j=1}^N(1-\frac{1}{n_j}).\]
En déduire que \(N=2\) ou \(N=3\).
Montrer que si \(N=2\), \(G\) est un sous-groupe cyclique de rotations.
Si \(N=3\), déterminer les possibilités pour les \(n_j\).