exo7 5121

On pose $z=e^{2i\pi/5}$ puis $a=z+z^4$ et $b=z^2+z^3$. Déterminer une équation du second degré dont les solutions sont $a$ et $b$ et en déduire les valeurs exactes de $\cos\left(\frac{2\pi}{5}\right)$, $\sin\left(\frac{2\pi}{5}\right)$, $\cos\left(\frac{4\pi}{5}\right)$, $\sin\left(\frac{4\pi}{5}\right)$, $\cos\left(\frac{\pi}{5}\right)$ et $\sin\left(\frac{\pi}{5}\right)$.

Le cercle de centre $\Omega$ d’affixe $-\frac{1}{2}$ passant par le point $M$ d’affixe $i$ recoupe $(Ox)$ en deux points $I$ et $J$. Montrer que $\overline{OI}+\overline{OJ}=\overline{OI}.\overline{OJ}=-1$ et en déduire une construction à la règle et au compas, du pentagone régulier inscrit dans le cercle de centre $O$ et de rayon $1$ dont un des sommets est le point d’affixe $1$.

La diagonale $[AC]$ d’un pentagone régulier $(ABCDE)$ est recoupée par deux autres diagonales en deux points $F$ et $G$. Calculer les rapports $\frac{AF}{AC}$ et $\frac{FG}{AF}$.