On pose \(z=e^{2i\pi/5}\) puis \(a=z+z^4\) et \(b=z^2+z^3\). Déterminer une équation du second degré dont les solutions sont \(a\) et \(b\) et en déduire les valeurs exactes de \(\cos\left(\frac{2\pi}{5}\right)\), \(\sin\left(\frac{2\pi}{5}\right)\), \(\cos\left(\frac{4\pi}{5}\right)\), \(\sin\left(\frac{4\pi}{5}\right)\), \(\cos\left(\frac{\pi}{5}\right)\) et \(\sin\left(\frac{\pi}{5}\right)\).
Le cercle de centre \(\Omega\) d’affixe \(-\frac{1}{2}\) passant par le point \(M\) d’affixe \(i\) recoupe \((Ox)\) en deux points \(I\) et \(J\). Montrer que \(\overline{OI}+\overline{OJ}=\overline{OI}.\overline{OJ}=-1\) et en déduire une construction à la règle et au compas, du pentagone régulier inscrit dans le cercle de centre \(O\) et de rayon \(1\) dont un des sommets est le point d’affixe \(1\).
La diagonale \([AC]\) d’un pentagone régulier \((ABCDE)\) est recoupée par deux autres diagonales en deux points \(F\) et \(G\). Calculer les rapports \(\frac{AF}{AC}\) et \(\frac{FG}{AF}\).