exo7 2113

On considère l’ensemble $E$ des matrices carrées à coefficients réels de la forme

$$\left[ \begin{array}{cc} a&0\\ b&0\\ \end{array} \right] ,\quad a \in \R ^\times ,\quad b \in\R$$ muni du produit des matrices.

(a) Montrer que $E$ est ainsi muni d’une loi de composition interne associative.

(b) Déterminer tous les éléments neutres à droite de $E$.

(c) Montrer que $E$ n’admet pas d’élément neutre à gauche.

(d) Soit $e$ un élément neutre à droite. Montrer que tout élément de $E$ possède un inverse à gauche pour cet élément neutre, i.e. $$\forall g\in E\quad \exists h \in E \quad hg=e$$