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On considère l’ensemble \(E\) des matrices carrées à coefficients réels de la forme
\[\left[ \begin{array}{cc} a&0\\ b&0\\ \end{array} \right] ,\quad a \in \R ^\times ,\quad b \in\R\] muni du produit des matrices.
(a) Montrer que \(E\) est ainsi muni d’une loi de composition interne associative.
(b) Déterminer tous les éléments neutres à droite de \(E\).
(c) Montrer que \(E\) n’admet pas d’élément neutre à gauche.
(d) Soit \(e\) un élément neutre à droite. Montrer que tout élément de \(E\) possède un inverse à gauche pour cet élément neutre, i.e. \[\forall g\in E\quad \exists h \in E \quad hg=e\]