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(I) Soit $X$ un ensemble et ${\cal P} (X)$ l’ensemble des parties de $X$ ordonné par l’inclusion. Soit $\varphi$ une application croissante de ${\cal P}(X)$ dans lui-même.

(a) Montrer que l’ensemble $E$ des parties $A$ de $X$ qui vérifient $\varphi (A)\subset A$ est non vide et admet un plus petit élément $A_0$.

(b) Montrer que $\varphi (A_0)=A_0$.

(II) Soit deux ensembles $X$ et $Y$ munis de deux injections $g$ de $X$ dans $Y$ et $h$ de $Y$ dans $X$.

(a) Montrer que l’application de ${\cal P}(X)$ dans lui-même défini par $$\varphi (A)=X-h(Y-g(A))$$ est croissante.

(b) Déduire de ce qui précède qu’il existe une bijection de $X$ sur $Y$.