\(\mathcal{S}_{N}\) est l’ensemble des permutations de l’ensemble \(\{ 1,2,\ldots,N \}\). Dans \(\mathcal{S}_{n+2}\) notons \(\tau\) la permutation \((n+1,n+2)\). Nous définissons une application \(\phi : \mathcal{S}_{n} \longrightarrow \mathcal{S}_{n+2}\) par les relations \[\phi(\sigma) = \sigma \text{ si } \epsilon(\sigma) = +1 \quad ; \quad \phi(\sigma) = \sigma \circ \tau \text{ sinon ;}\] où \(\epsilon\) désigne la signature. Alors \(\phi\) est un morphisme de groupe, de plus quelque soit \(\sigma \in \mathcal{S}_{n}\) alors \(\epsilon (\phi(\sigma))=+1\) (si \(\epsilon(\sigma)= +1\) c’est clair, sinon \(\epsilon (\phi(\sigma))=\epsilon(\sigma)\times \epsilon(\tau) = (-1)\times (-1) = +1\)). Donc \(\phi (\mathcal{S}_{n})\) est un sous-groupe de \(\mathcal{A}_{n+2}\).

Enfin \(\phi\) est injective : en effet soit \(\sigma\) tel que \(\phi(\sigma)=\mathrm{id}\). Soit \(\epsilon(\sigma) = +1\) et alors \(\phi(\sigma)= \sigma = \mathrm{id}\) ; soit \(\epsilon(\sigma) = -1\) et alors \(\phi(\sigma)= \sigma \circ \tau\), pour \(j \in \{1,2,\ldots,n\}\) \(j = \phi(\sigma)(j)= \sigma \circ \tau(j) = \sigma(j)\), et donc quelque soit \(j\in \{1,2,\ldots,n\}\) \(\sigma(j)=j\) et donc \(\sigma = \mathrm{id}\). On vient de démontrer que la composée de deux permutations à supports disjoint est l’identité si et seulement si les permutations sont déjà l’identité !

Notons encore \(\phi : \mathcal{S}_{n} \longrightarrow \phi(\mathcal{S}_{n} )\) le morphisme induit par \(\phi\). Il est injectif et surjectif, donc \(\mathcal{S}_{n}\) est isomorphe \(\phi(\mathcal{S}_{n})\) qui est un sous-groupe de \(\mathcal{A}_{n+2}\). \(\mathcal{A}_5\) est de cardinal \(5 !/2=60\), et comme \(24 = \mathrm{Card} \mathcal{S}_4\) ne divise pas \(60\) alors \(\mathcal{A}_5\) n’a pas de sous-groupe d’ordre \(24\). C’est un peu plus délicat car \(\mathrm{Card} \mathcal{S}_5 = 5 ! = 120\) divise \(\mathrm{Card} \mathcal{A}_6 = 6 !/2 = 360\) donc l’argument ci-dessus n’est pas valide. Cependant s’il existe un isomorphisme entre \(\mathcal{S}_5\) et un sous-groupe de \(\mathcal{A}_6\) alors un cycle d’ordre \(5\) de \(\mathcal{S}_5\) est envoyé sur une permutation \(\sigma \in \mathcal{A}_6\) d’ordre \(5\).

Décomposons \(\sigma\) en produit de cycles à supports disjoints, \(\sigma = \sigma_1 \circ \sigma_2 \circ \cdots\). Comme les cycles \(\sigma_i\) sont à supports disjoints, il y a au plus trois cycles (de longueur \(\geq 2\)) dans la décomposition (car dans \(\mathcal{A}_6\) on peut permuter au plus \(6\) éléments).

Le cas \(\sigma = \sigma_1\) n’est pas possible car alors \(\sigma_1\) serait un cycle d’ordre \(5\) et donc de signature \(-1\) dans \(\mathcal{A}_6\). Si \(\sigma = \sigma_1 \circ \sigma_2\) alors les longueurs de \(\sigma_1\) et \(\sigma_2\) sont \((4,2)\) ou \((2,2)\), et l’ordre de leur composée \(\sigma_1 \circ \sigma_2\) est donc \(4\) ou \(2\) mais pas \(5\). Si \(\sigma = \sigma_1 \circ \sigma_2 \circ \sigma_3\) alors les \(\sigma_i\) sont des transpositions, et la signature de \(\sigma\) est alors \(-1\) ce qui contredit \(\sigma \in \mathcal{A}_6\).

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