$\mathcal{S}_{N}$ est l’ensemble des permutations de l’ensemble $\{ 1,2,\ldots,N \}$ . Dans $\mathcal{S}_{n+2}$ notons $\tau$ la permutation $(n+1,n+2)$ . Nous définissons une application $\phi : \mathcal{S}_{n} \longrightarrow \mathcal{S}_{n+2}$ par les relations $\phi(\sigma) = \sigma \text{ si } \epsilon(\sigma) = +1 \quad ; \quad \phi(\sigma) = \sigma \circ \tau \text{ sinon ;}$ où $\epsilon$ désigne la signature. Alors $\phi$ est un morphisme de groupe, de plus quelque soit $\sigma \in \mathcal{S}_{n}$ alors $\epsilon (\phi(\sigma))=+1$ (si $\epsilon(\sigma)= +1$ c’est clair, sinon $\epsilon (\phi(\sigma))=\epsilon(\sigma)\times \epsilon(\tau) = (-1)\times (-1) = +1$ ). Donc $\phi (\mathcal{S}_{n})$ est un sous-groupe de $\mathcal{A}_{n+2}$ .

Enfin $\phi$ est injective : en effet soit $\sigma$ tel que $\phi(\sigma)=\mathrm{id}$ . Soit $\epsilon(\sigma) = +1$ et alors $\phi(\sigma)= \sigma = \mathrm{id}$ ; soit $\epsilon(\sigma) = -1$ et alors $\phi(\sigma)= \sigma \circ \tau$ , pour $j \in \{1,2,\ldots,n\}$ $j = \phi(\sigma)(j)= \sigma \circ \tau(j) = \sigma(j)$ , et donc quelque soit $j\in \{1,2,\ldots,n\}$ $\sigma(j)=j$ et donc $\sigma = \mathrm{id}$ . On vient de démontrer que la composée de deux permutations à supports disjoint est l’identité si et seulement si les permutations sont déjà l’identité !

Notons encore $\phi : \mathcal{S}_{n} \longrightarrow \phi(\mathcal{S}_{n} )$ le morphisme induit par $\phi$ . Il est injectif et surjectif, donc $\mathcal{S}_{n}$ est isomorphe $\phi(\mathcal{S}_{n})$ qui est un sous-groupe de $\mathcal{A}_{n+2}$ . $\mathcal{A}_5$ est de cardinal $5 !/2=60$ , et comme $24 = \mathrm{Card} \mathcal{S}_4$ ne divise pas $60$ alors $\mathcal{A}_5$ n’a pas de sous-groupe d’ordre $24$ . C’est un peu plus délicat car $\mathrm{Card} \mathcal{S}_5 = 5 ! = 120$ divise $\mathrm{Card} \mathcal{A}_6 = 6 !/2 = 360$ donc l’argument ci-dessus n’est pas valide. Cependant s’il existe un isomorphisme entre $\mathcal{S}_5$ et un sous-groupe de $\mathcal{A}_6$ alors un cycle d’ordre $5$ de $\mathcal{S}_5$ est envoyé sur une permutation $\sigma \in \mathcal{A}_6$ d’ordre $5$ .

Décomposons $\sigma$ en produit de cycles à supports disjoints, $\sigma = \sigma_1 \circ \sigma_2 \circ \cdots$ . Comme les cycles $\sigma_i$ sont à supports disjoints, il y a au plus trois cycles (de longueur $\geq 2$ ) dans la décomposition (car dans $\mathcal{A}_6$ on peut permuter au plus $6$ éléments).

Le cas $\sigma = \sigma_1$ n’est pas possible car alors $\sigma_1$ serait un cycle d’ordre $5$ et donc de signature $-1$ dans $\mathcal{A}_6$ .
Si $\sigma = \sigma_1 \circ \sigma_2$ alors les longueurs de $\sigma_1$ et $\sigma_2$ sont $(4,2)$ ou $(2,2)$ , et l’ordre de leur composée $\sigma_1 \circ \sigma_2$ est donc $4$ ou $2$ mais pas $5$ .
Si $\sigma = \sigma_1 \circ \sigma_2 \circ \sigma_3$ alors les $\sigma_i$ sont des transpositions, et la signature de $\sigma$ est alors $-1$ ce qui contredit $\sigma \in \mathcal{A}_6$ .

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