L2 Algèbre Groupe, anneau, corps Prépa MP · MPI 4 questions

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Soit (A,+,×)(A,+,\times ) un anneau commutatif, on dit que I⊂AI\subset A est un idéal de AA si et seulement si: II est un sous-groupe de (A,+)(A,+) et de plus: ∀a∈A,∀x∈I,ax∈I.\forall a\in A,\forall x\in I,ax\in I.

1

Quels sont les idéaux de Z\Zz ?

2

On appelle radical de II, l’ensemble : I={x∈A∣∃n∈N,xn∈I}.\sqrt{I} =\{x\in A|\exists n\in \Nn,x^{n}\in I\}. Montrer que I \sqrt{I\text{ }} est un idéal de AAcontenant II. Étudier le cas A=Z.A=Z.

3

Montrer que si II et JJ sont deux idéaux de A tels que I⊂JI\subset J, alors I⊂J.\sqrt{I}\subset \sqrt{J}.En déduire I=I.\sqrt{\sqrt{I}}=\sqrt{I}.

4

Montrer que si II et JJsont deux idéaux de A, I∩J=I∩J.\sqrt{I\cap J}=\sqrt{I}\cap \sqrt{J}.

Exercice tx9V

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