Soit \((A,+,\times )\) un anneau commutatif, on dit que \(I\subset A\) est un idéal de \(A\) si et seulement si: \(I\) est un sous-groupe de \((A,+)\) et de plus: \(\forall a\in A,\forall x\in I,ax\in I.\)
1
Quels sont les idéaux de \(\Zz\) ?
2
On appelle radical de \(I\), l’ensemble : \[\sqrt{I} =\{x\in A|\exists n\in \Nn,x^{n}\in I\}.\] Montrer que \(\sqrt{I\text{ }}\) est un idéal de \(A\)contenant \(I\). Étudier le cas \(A=Z.\)
3
Montrer que si \(I\) et \(J\) sont deux idéaux de A tels que \(I\subset J\), alors \(\sqrt{I}\subset \sqrt{J}.\)En déduire \(\sqrt{\sqrt{I}}=\sqrt{I}.\)
4
Montrer que si \(I\) et \(J\)sont deux idéaux de A, \(\sqrt{I\cap J}=\sqrt{I}\cap \sqrt{J}.\)