L1 Analyse Propriétés de R Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa BCPST 4 questions

exo7 484

Soit (un)n∈N(u_n)_{n\in \mathbb{N}} une suite bornée. On pose Ap=sup⁡n>punA_p = \sup_{n>p} u_n et Bp=inf⁡n>punB_p= \inf_{n>p} u_n. Montrer que (Ap)p∈N(A_p)_{p\in\mathbb{N}} est une suite décroissante bornée et que (Bp)p∈N(B_p)_{p\in \mathbb{N}} est une suite croissante bornée. Soit L=lim⁡p→∞ApL = \lim_{p \to\infty} A_p et l=lim⁡p→∞Bpl= \lim_{p \to\infty} B_p.

1

Dans le cas particulier où un=n+2n+1cos⁡nπ3u_n= {n+2\over n+1} \cos{n\pi\over3}, calculer LL et ll.

2

Montrer que : ∀ϵ>0,  ∃p∈N,  ∀n≥p,  un>l−ϵ∀ϵ>0,  ∀p∈N,  ∃n≥p,  un<l+ϵ\begin{gathered} \forall\epsilon>0,\;\exists p\in\mathbb{N},\;\forall n \geq p,\; u_n > l- \epsilon\\ \forall\epsilon>0,\;\forall p\in\mathbb{N},\;\exists n \geq p,\; u_n < l+ \epsilon \end{gathered}

3

Interpréter ces propriétés. Énoncer des propriétés analogues pour LL. Démontrez-les.

4

Que peut-on dire de (un)(u_n) si L=lL=l ?

Exercice u767

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