Soit \((u_n)_{n\in \mathbb{N}}\) une suite bornée. On pose \(A_p = \sup_{n>p} u_n\) et \(B_p= \inf_{n>p} u_n\). Montrer que \((A_p)_{p\in\mathbb{N}}\) est une suite décroissante bornée et que \((B_p)_{p\in \mathbb{N}}\) est une suite croissante bornée. Soit \(L = \lim_{p \to\infty} A_p\) et \(l= \lim_{p \to\infty} B_p\).
Dans le cas particulier où \(u_n= {n+2\over n+1} \cos{n\pi\over3}\), calculer \(L\) et \(l\).
Montrer que : \[\displaylines{ \forall\epsilon>0,\;\exists p\in\mathbb{N},\;\forall n \geq p,\; u_n > l- \epsilon\cr \forall\epsilon>0,\;\forall p\in\mathbb{N},\;\exists n \geq p,\; u_n < l+ \epsilon \cr}\]
Interpréter ces propriétés. Énoncer des propriétés analogues pour \(L\). Démontrez-les.
Que peut-on dire de \((u_n)\) si \(L=l\) ?