Posons pour \(n\) entier naturel non nul \(u_n=\frac{1}{n}+(-1)^n\) de sorte que \(A=\{u_n,\;n\in\Nn^*\}=\left\{0,\frac{1}{2}+1,\frac{1}{3}-1,\frac{1}{4}+1,\frac{1}{5}-1,...\right\}\). Pour \(n\geq1\), \(u_{2n}=1+\frac{1}{2n}\). Donc \(\forall n\in\Nn^*\), \(1<u_{2n}\leq\frac{3}{2}\). Pour \(n\geq1\), \(u_{2n-1}=-1+\frac{1}{2n-1}\). Donc \(\forall n\in\Nn^*\), \(-1<u_{2n-1}\leq0\). Par suite, \(\forall n\in\Nn^*,\;-1<u_n\leq\frac{3}{2}\). Donc, \(\mbox{sup }A\) et \(\mbox{inf }A\) existent dans \(\Rr\) et de plus \(-1\leq\mbox{inf }A\leq\mbox{sup }A\leq\frac{3}{2}\). Ensuite, \(\frac{3}{2}=u_2\in A\). Donc,

Enfin, pour chaque entier naturel non nul \(n\), ona \(-1\leq\mbox{inf }A\leq u_{2n-1}=-1+\frac{1}{2n-1}\). On fait tendre \(n\) tend vers l’infini dans cet encadrement, on obtient

(cette borne inférieure n’est pas un minimum).

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