Posons pour $n$ entier naturel non nul $u_n=\frac{1}{n}+(-1)^n$ de sorte que $A=\{u_n,\;n\in\Nn^*\}=\left\{0,\frac{1}{2}+1,\frac{1}{3}-1,\frac{1}{4}+1,\frac{1}{5}-1,...\right\}$ . Pour $n\geq1$ , $u_{2n}=1+\frac{1}{2n}$ . Donc $\forall n\in\Nn^*$ , $1<u_{2n}\leq\frac{3}{2}$ . Pour $n\geq1$ , $u_{2n-1}=-1+\frac{1}{2n-1}$ . Donc $\forall n\in\Nn^*$ , $-1<u_{2n-1}\leq0$ . Par suite, $\forall n\in\Nn^*,\;-1<u_n\leq\frac{3}{2}$ . Donc, $\mbox{sup }A$ et $\mbox{inf }A$ existent dans $\Rr$ et de plus $-1\leq\mbox{inf }A\leq\mbox{sup }A\leq\frac{3}{2}$ . Ensuite, $\frac{3}{2}=u_2\in A$ . Donc,

$\mbox{sup }A=\mbox{max }A=\frac{3}{2}$ .

Enfin, pour chaque entier naturel non nul $n$ , ona $-1\leq\mbox{inf }A\leq u_{2n-1}=-1+\frac{1}{2n-1}$ . On fait tendre $n$ tend vers l’infini dans cet encadrement, on obtient

$\mbox{inf }A=-1$

(cette borne inférieure n’est pas un minimum).

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